[论文解读] Random Tensor models: Combinatorics, Geometry, Quantum Gravity and Integrability

Stéphane Dartois|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2015

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 37被引用 3

一句话总结

本论文研究随机张量模型作为随机矩阵模型的推广，重点关注其组合学、几何结构、量子引力应用以及可积性。论文将矩阵模型中的关键工具——拓扑递归与环方程——推广至一类四次甜甜圈型张量模型，特别是在 $d=4k+2$ 维情形下，表明环方程保持递归结构，并通过谱曲线与代数曲线模空间提出潜在的几何解释。

ABSTRACT

In this thesis manuscript we explore different facets of random tensor models. These models have been introduced to mimic the incredible successes of random matrix models in physics, mathematics and combinatorics. After giving a very short introduction to few aspects of random matrix models and recalling a physical motivation called Group Field Theory, we start exploring the world of random tensor models and its relation to geometry, quantum gravity and combinatorics. We first define these models in a natural way and discuss their geometry and combinatorics. After these first explorations we start generalizing random matrix methods to random tensors in order to describes the mathematical and physical properties of random tensor models, at least in some specific cases.

研究动机与目标

• 将随机矩阵模型技术（尤其是拓扑递归与环方程）推广至高维随机张量模型。
• 理解由随机张量模型生成的 $d$-维单纯形剖分的组合与几何结构，尤其在 $d \geq 3$ 情形下。
• 探究在矩阵模型中取得成功的拓扑递归形式能否推广至具有四次甜甜圈型相互作用的特定张量模型族。
• 探索张量模型中环方程的代数结构及其与李代数和张量不变量的关系。
• 确定这些模型中的可观测量是否可与谱曲线的几何数据相关联，特别是在非拓扑区域。

提出的方法

• 将单矩阵模型中的拓扑递归形式推广至一类具有四次甜甜圈型相互作用的随机张量模型。
• 推导张量模型的环方程，其形式推广了赫米特单矩阵模型中的维拉索罗约束，使用构成子-维特定代数的微分算子。
• 分析相关函数 $W_{\mathbf{k}}^{g}$ 在拓扑极限下的标度行为，识别出与 [Bor13] 中相似的递归结构。
• 研究非拓扑项对拓扑解的扰动，将其视为改变生成函数极点结构的源项。
• 提出通过允许 $W_{\mathbf{k},N}^{g}$ 依赖于 $N$，以留数公式形式重写完整解，同时保持递归结构。
• 通过将耦合常数重新标度，将谱曲线解释为压紧的环面，进而得到带 punctures 的球面，将 $W_{\mathbf{k}}^{s}$ 与模空间积分联系起来，如 [BS15] 所示。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将拓扑递归形式推广至随机张量模型，特别是在 $d = 4k+2$ 维情形？
• RQ2 环方程中的非拓扑项如何影响极点结构与相关函数的递归解？
• RQ3 张量模型中的环方程是否构成一致系统？它们在不同子-维特定代数之间是否独立或冗余？
• RQ4 能否以谱曲线与黎曼曲面模空间的几何解释来理解 $W_{\mathbf{k}}^{s}$ 可观测量？
• RQ5 由图生成的张量不变量是否构成一组基？这与环方程的独立性有何关联？

主要发现

• 经过平移的四次甜甜圈型张量模型的环方程可重写为类似于维拉索罗约束的形式，其中微分算子构成子-维特定代数。
• 环方程的拓扑部分表现出与 [Bor13] 相似的递归结构，提示解可能存在留数公式。
• 非拓扑项以不同于拓扑情形的方式扰动生成函数的极点结构，但递归模式得以保留。
• 在 $d=6,10,14,\dots$ 维情形下，该模型可解释为具有环面谱曲线的两赫米特矩阵 $O(n)$-型模型，经重新标度后变为压紧的环面。
• 在压紧极限下，所得谱曲线分解为带 punctures 的球面，提示其与曲面模空间积分之间可能存在联系。
• 存在多个子-维特定代数，暗示存在多组环方程，引发其独立性问题，并可能实现对可观测量子集的递归计算。