[论文解读] Random tensors, propagation of randomness, and nonlinear dispersive equations

Yu Deng, Andrea R. Nahmod+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2020

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 38被引用 18

一句话总结

本文提出了一种随机张量的新理论，用于研究非线性色散方程中随机性的传播，特别是具有随机初值的半线性薛定谔方程。通过扩展随机平均算子，并使用带有自适应张量系数的多重线性高斯展开，作者在概率尺度下于完整亚临界范围内建立了几乎必然的局部适定性，解决了文献[32]中的猜想1.7。

ABSTRACT

Abstract. The purpose of this paper is twofold. We introduce the theory of random tensors, which naturally extends the method of random averaging operators in our earlier work arXiv:1910.08492, to study the propagation of randomness under nonlinear dispersive equations. By applying this theory we also solve Conjecture 1.7 in arXiv:1910.08492, and establish almost-sure local well-posedness for semilinear Schrödinger equations in spaces that are subcritical in the probabilistic scaling. The solution we find has an explicit expansion in terms of multilinear Gaussians with adapted random tensor coefficients. In the random setting, the probabilistic scaling is the natural scaling for dispersive equations, and is different from the natural scaling for parabolic equations. Our theory, which covers the full subcritical regime in the probabilistic scaling, can be viewed as the dispersive counterpart of the existing parabolic theories (regularity structure, para-controlled calculus and renormalization group techniques).

研究动机与目标

• 开发抛物型理论（如正则性结构和拟控制微积分）的色散型对应理论。
• 研究在概率尺度下非线性色散方程中随机性的传播。
• 解决文献[32]中关于半线性薛定谔方程在几乎必然局部适定性方面的猜想1.7。
• 建立一个适用于除薛定谔方程外更一般色散关系的理论框架。
• 为将该理论扩展至拟线性和长时间范围奠定基础。

提出的方法

• 引入随机张量作为随机平均算子的推广，使用带有自适应张量系数的多重线性高斯展开。
• 采用核心假设，涉及张量范数和格点计数，以控制非线性相互作用。
• 应用大偏差不等式和张量范数估计，推导解分量的先验界。
• 开发剪裁与合并估计，以管理多重线性相互作用中的过度计数与配对问题。
• 使用针对色散关系计数界量身定制的选择算法，与抛物型情形不同。
• 调整框架以包含时间调制变量，用于随机强迫和一般色散关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非线性色散方程的流作用下，随机性如何传播，特别是在亚临界范围内？
• RQ2 随机平均算子方法能否推广至实现概率尺度下完整亚临界适定性？
• RQ3 在随机初值设定下，半线性薛定谔方程几乎必然局部适定性的正确阈值是什么？
• RQ4 该理论如何推广至除薛定谔方程外的其他色散关系？
• RQ5 随机张量框架能否适应拟线性或长时间色散问题？

主要发现

• 本文解决了文献[32]中的猜想1.7，证明了在概率尺度下，半线性薛定谔方程在完整亚临界范围内具有几乎必然的局部适定性。
• 解以多重线性高斯函数和自适应随机张量系数的显式展开形式构造。
• 该理论在概率尺度下实现了完整的亚临界适定性，类似于通过正则性结构在抛物型SPDE中实现的完整图景。
• 该方法适用于一般色散关系，其计数估计和选择算法根据具体色散关系进行调整。
• 该框架被证明可扩展至随机强迫和加法噪声，时间调制变量被整合进张量结构中。
• 本文指出了将理论扩展至拟线性方程和长时间全局适定性的开放问题。