[论文解读] Random triangle removal

Tom Bohman, Alan Frieze+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文解决了Bollobás与Erdős（1990年）提出的长期猜想，即在$n$个顶点的完全图上进行的随机三角形移除过程，以高概率留下$n^{3/2+o(1)}$条边。作者通过一套自校正鞅系统，建立了关键图参数的集中性，证明了最终的无三角形图具有渐近$n^{3/2+o(1)}$条边，确认了预测的指数，并与Spencer等人的一致。

ABSTRACT

Starting from a complete graph on $n$ vertices, repeatedly delete the edges of a uniformly chosen triangle. This stochastic process terminates once it arrives at a triangle-free graph, and the fundamental question is to estimate the final number of edges (equivalently, the time it takes the process to finish, or how many edge-disjoint triangles are packed via the random greedy algorithm). Bollobás and Erdős (1990) conjectured that the expected final number of edges has order $n^{3/2}$, motivated by the study of the Ramsey number $R(3,t)$. An upper bound of $o(n^2)$ was shown by Spencer (1995) and independently by Rödl and Thoma (1996). Several bounds were given for variants and generalizations (e.g., Alon, Kim and Spencer (1997) and Wormald (1999)), while the best known upper bound for the original question of Bollobás and Erdős was $n^{7/4+o(1)}$ due to Grable (1997). No nontrivial lower bound was available. Here we prove that with high probability the final number of edges in random triangle removal is equal to $n^{3/2+o(1)}$, thus confirming the 3/2 exponent conjectured by Bollobás and Erdős and matching the predictions of Spencer et al. For the upper bound, for any fixed $ε>0$ we construct a family of $\exp(O(1/ε))$ graphs by gluing $O(1/ε)$ triangles sequentially in a prescribed manner, and dynamically track all homomorphisms from them, rooted at any two vertices, up to the point where $n^{3/2+ε}$ edges remain. A system of martingales establishes concentration for these random variables around their analogous means in a random graph with corresponding edge density, and a key role is played by the self-correcting nature of the process. The lower bound builds on the estimates at that very point to show that the process will typically terminate with at least $n^{3/2-o(1)}$ edges left.

研究动机与目标

• 解决Bollobás与Erdős（1990年）提出的猜想：在$K_n$上进行的随机三角形移除过程，以高概率留下$n^{3/2+o(1)}$条边。
• 弥合已知最优上界$n^{7/4+o(1)}$与最终边数缺乏任何非平凡下界之间的差距。
• 通过自校正鞅的创新应用，建立一大类图参数（特别是小根图的同态计数）的集中性。
• 证明随机贪心三角形打包过程最终留下$n^{3/2+o(1)}$条边，确认Spencer等人预测的$3/2$指数。

提出的方法

• 作者引入了一类由$O(1/\varepsilon)$个三角形以受控方式粘合而成的$\exp(O(1/\varepsilon))$个小型图，作为追踪同态计数的模板。
• 他们定义了随机变量$Y_{u,v}$，用于计数从这些模板到演化图的同态（以顶点对为根），并动态追踪其演化过程。
• 构建了一套鞅系统，以证明这些变量在具有匹配边密度的Erdős–Rényi随机图中，围绕其期望值集中。
• 该过程的自校正特性确保了偏离均值的偏差会引发强烈的回归驱动力，从而在复杂依赖关系下仍能实现集中。
• 分析进行到剩余$n^{3/2+\varepsilon}$条边为止，利用共度数假设来限制公共邻居的数量，并控制事件概率。
• 最终的下界通过证明在一组精心选择的集合$\mathscr{X}_{\star}$中，正比例的三角形能存活至结束而得出，利用了所有三角形按均匀随机排列的处理顺序。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完全图中反复移除均匀随机选择的边不相交三角形，直到无法再移除三角形时，剩余边数的渐近数量是多少？
• RQ2 随机贪心三角形移除过程是否如Bollobás与Erdős所猜想的那样，以高概率留下$n^{3/2+o(1)}$条边？
• RQ3 能否严格利用该过程的自校正行为，来证明复杂图参数随时间的集中性？
• RQ4 是否可以构造一类小型图，其同态计数可用于下界估计该过程的最终边数？
• RQ5 边删除与三角形出现之间的依赖关系如何影响随机贪心打包过程的最终结果？

主要发现

• 随机三角形移除过程中最终剩余的边数为$n^{3/2+o(1)}$，以高概率成立，证实了Bollobás与Erdős（1990年）的猜想。
• Grable（1997年）提出的上界$n^{7/4+o(1)}$被改进为$n^{3/2+o(1)}$，与下界匹配，从而填补了指数差距。
• 该过程表现出自校正动力学：同态计数的偏离会引发强烈的回归驱动力，从而在依赖关系复杂的情况下仍能实现集中。
• 使用了$\exp(O(1/\varepsilon))$个小型图族来追踪同态计数，其行为被证明会集中在对应Erdős–Rényi随机图的相应值附近。
• 通过在有利处理顺序下对边存活的三角形数量使用二项下界，建立了$n^{3/2-6\varepsilon-o(1)}$条边存活的存在性。
• 该结果确认了Spencer等人预测，并解决了Joel Spencer为证明$n^{3/2+o(1)}$边界而提供的200美元奖金。