[论文解读] Random Tug of War games for the ${\mathbf p}$-Laplacian: ${\mathbf{1<p<{\boldsymbol \infty}}}$

Marta Lewicka|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对 p-Laplacian（$1 < p < \infty$）的新型噪声 Tug of War 游戏，该方法结合了在球体上的确定性极小-极大平均与在 N 维椭球体上的随机平均，其中椭球体的长宽比取决于 $p$ 和 $N$。由此产生的动态规划原理确保了解的连续性，并使解一致收敛于 $\Delta_p u = 0$ 的 Dirichlet 问题的唯一黏性解，从而在满足外 corkscrew 条件的区域上建立了游戏正则性。

ABSTRACT

We propose a new finite difference approximation to the Dirichlet problem for the homogeneous $\mathbf{p}$-Laplace equation posed on an $N$-dimensional domain, in connection with the Tug of War games with noise. Our game and the related mean-value expansion that we develop, superposes the ``deterministic averages'' ``$\frac{1}{2}(\inf +\sup)$'' taken over balls, with the ``stochastic averages'' ``$\fint$'', taken over $N$-dimensional ellipsoids whose aspect ratio depends on $N,\mathbf{p}$ and whose orientations span all directions while determining $\inf / \sup$. We show that the unique solutions $u_\epsilon$ of the related dynamic programming principle are automatically continuous for continuous boundary data, and coincide with the well-defined game values. Our game has thus the min-max property: the order of supremizing the outcomes over strategies of one player and infimizing over strategies of their opponent, is immaterial. We further show that domains satisfying the exterior corkscrew condition are game regular in this context, i.e. the family $\{u_\epsilon\}_{\epsilon o 0}$ converges uniformly to the unique viscosity solution of the Dirichlet problem.

研究动机与目标

• 提出一种基于新颖随机博弈论框架的、用于齐次 p-Laplacian $\Delta_p u = 0$ 的有限差分逼近方法。
• 通过构建具有内在连续性和明确定义的游戏值的游戏，解决先前噪声 Tug of War 游戏中缺乏正则性和可测性的问题。
• 证明动态规划原理的解是连续的，并与游戏值一致，从而确保极小-极大性质成立。
• 证明解族 $\{u_\epsilon\}_{\epsilon \to 0}$ 在游戏正则区域上一致收敛于 Dirichlet 问题的唯一黏性解。

提出的方法

• 提出一种结合在球体上确定性 $\frac{1}{2}(\inf + \sup)$ 平均与在 N 维椭球体 $E(x, r; \alpha, \nu)$ 上随机平均的均值展开，其中长宽比 $\alpha_p$ 依赖于 $p$ 和 $N$。
• 推导出一个关键展开式 (1.3)，通过涉及 $\gamma_p$ 和 $\alpha_p$ 的加权平均识别 $\Delta_p u$，并满足相容性条件 $\frac{N+2}{\gamma_p^2} + a_p^2 = p - 1$。
• 引入一个双人零和博弈，其中移动通过抛硬币和一个在与上一移动正交的余维 2 球面上均匀分布的噪声向量更新，缩放因子为 $\gamma_p = \sqrt{\frac{N-1}{p-1}}$。
• 利用 corkscrew 条件证明游戏正则性：对于满足该几何条件的区域，游戏以概率 1 停止，且解一致收敛。
• 应用 Ascoli-Arzela 定理与黏性解理论，将 $u_\epsilon$ 的极限识别为 $D$ 中 $\Delta_p u = 0$ 的唯一黏性解，且在 $\partial D$ 上满足 $u = F$。
• 证明游戏值是连续的，并与动态规划原理的解一致，从而无论策略顺序如何，均确保极小-极大性质成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种 Tug of War 游戏，使得其值函数是连续的，并与 $\Delta_p u = 0$ 的有限差分格式的解一致？
• RQ2 所提出的具有椭球平均与噪声的游戏是否确保极小-极大性质，即玩家策略的顺序不影响结果？
• RQ3 在哪些区域上游戏是正则的，即当 $\epsilon \to 0$ 时，解 $u_\epsilon$ 一致收敛于黏性解？
• RQ4 是否可以在不预先知道 $\nabla u(x)$ 的前提下推导出均值展开式 (1.3)，从而识别出仅连续的 p-调和函数？
• RQ5 在 corkscrew 条件下，$u_\epsilon$ 到黏性解的收敛是否一致且唯一？

主要发现

• 所提游戏确保动态规划原理的解 $u_\epsilon$ 对于连续边界数据是连续的，继承了边界函数 $F$ 的正则性。
• 游戏值是良好定义的，并与解 $u_\epsilon$ 一致，解决了早期形式中存在可测性与正则性问题。
• 极小-极大性质成立：对玩家策略进行上确界与下确界操作的顺序无关紧要，确保了游戏值的一致性。
• 对于满足外 corkscrew 条件的区域，解族 $\{u_\epsilon\}_{\epsilon \to 0}$ 一致收敛于 $\Delta_p u = 0$ 的 Dirichlet 问题的唯一黏性解。
• 收敛是一致的，且极限被唯一地识别为黏性解，其证明依赖于通过测试函数验证黏性次解与超解。
• 相容性条件 $\frac{N+2}{\gamma_p^2} + a_p^2 = p - 1$ 确保了对所有 $p \in (1, \infty)$，均值展开式 (1.3) 的有效性，使得该框架适用于 $p$ 的整个取值范围。