[论文解读] Random walk approximation of BSDEs with H{\\"o}lder continuous terminal condition

Christel Geiß, Céline Labart+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用 7

一句话总结

该论文建立了基于随机游走的数值方法求解马氏后向随机微分方程（BSDEs）的 $L_2$-收敛速率，其终端条件为局部霍尔德连续。通过分析关联PDE解的二阶导数性质，证明了 $Y$-分量的误差以速率 $h^{\alpha/4}$ 收敛，$Z$-分量以速率 $h^{\alpha/4}/\sqrt{T - v}$ 收敛，其中 $\alpha$ 为霍尔德指数，$h$ 为时间步长。

ABSTRACT

In this paper we consider the random walk approximation of the solution of a Markovian BSDE whose terminal condition is a locally H{\\"o}lder continuous function of the Brownian motion. We state the rate of the L 2-convergence of the approximated solution to the true one. The proof relies in part on growth and smoothness properties of the solution u of the associated PDE. Here we improve existing results by showing some properties of the second derivative of u in space.

研究动机与目标

• 通过建立经典随机游走逼近方法在BSDEs上的收敛速率，填补文献中的空白，尽管该方法在基础层面已被广泛使用，但其收敛速率问题长期悬而未决。
• 通过分析关联PDE解的正则性，特别是其二阶空间导数，扩展现有随机游走格式的结果。
• 在终端条件为霍尔德连续的假设下，为BSDE解的 $Y$ 和 $Z$ 分量提供定量的收敛速率。
• 通过推导解的导数更精确的估计，改进先前工作，从而在 $L_2$-范数下获得更精确的误差界。
• 通过数值模拟验证理论结果，展示所推导收敛速率的实际相关性。

提出的方法

• 该方法采用离散时间的随机游走逼近 $B^n_t = \sqrt{h}\sum_{i=1}^{[t/h]} \varepsilon_i$，其中 $\varepsilon_i$ 为独立同分布的雷迪马赫随机变量，用于替代BSDE中的布朗运动。
• 通过在离散时间点 $t_k = kh$ 上使用条件期望和生成器 $f$ 的向后递推，定义逼近解 $(Y^n, Z^n)$。
• 采用马利阿文微积分框架，通过马利阿文权重表示 $Z$ 和 $Z^n$，从而实现对 $Z$-分量正则性与误差结构的分析。
• 推导出关联PDE解 $u$ 的一阶和二阶空间导数的关键估计，特别在终端条件 $g$ 局部霍尔德连续且指数为 $\alpha$ 的假设下。
• 将一种改进的格朗沃尔型不等式应用于误差传播，引入形式为 $(w - r)^{-1/2}$ 的奇异核，以处理误差动态的非马氏性质。
• 采用截断与局部化技术控制 $Z$-分量的尾部，确保可积性，并最终推导出收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当终端条件为局部霍尔德连续时，随机游走逼近格式在BSDEs上的 $L_2$-收敛速率是多少？
• RQ2 关联PDE解的正则性特征——特别是二阶空间导数——如何影响数值格式的收敛速率？
• RQ3 能否通过利用离散逼近中马利阿文权重与条件期望的结构，进一步提升收敛速率？
• RQ4 收敛速率对终端条件霍尔德指数 $\alpha$ 的依赖关系如何？
• RQ5 当时间 $v$ 趋近于终端时间 $T$ 时，$Z$-分量的误差行为如何？是否可以对其进行量化？

主要发现

• $Y$-分量解的 $L_2$-误差以速率 $h^{\alpha/4}$ 收敛，其中 $h$ 为时间步长，$\alpha \in (0,1]$ 为终端条件的霍尔德指数。
• $Z$-分量的 $L_2$-误差以速率 $h^{\alpha/4}/\sqrt{T - v}$ 收敛，表明在终端时间 $T$ 附近误差出现发散，这与马利阿文权重表示中的奇异性一致。
• 证明依赖于对关联PDE解 $u$ 的二阶空间导数的新估计，将张 [36, 定理 3.2] 的结果推广至局部霍尔德连续终端条件的情形。
• 收敛速率通过马利阿文微积分、PDE正则性理论以及结合奇异核的改进型格朗沃尔不等式联合推导得出。
• 数值模拟验证了理论收敛速率，证实了 $Y$ 和 $Z$ 分量均符合 $h^{\alpha/4}$ 的标度关系。
• 该分析考虑了终端条件 $g$ 的多项式增长与霍尔德连续性，确保结果适用于一大类现实的BSDEs。