[论文解读] Random walk on discrete point processes

Ron Rosenthal|arXiv (Cornell University)|May 9, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用 4

一句话总结

本论文研究在 ℤ^d 的随机子集上的对称随机游走，其中转移仅发生在随机环境中坐标最近邻之间。证明了该游走的几乎必然速度为零，建立了不同维度下的常返/遍历性准则，并在邻点距离的矩条件下方证明了 quenched 功能中心极限定理。

ABSTRACT

We consider a model for random walks on random environments (RWRE) with random subset of the d-dimensional Euclidean lattice as the vertices, and uniform transition probabilities on 2d points (two "coordinate nearest points" in each of the d coordinate directions). We prove that the velocity of such random walks is almost surely 0, and give partial characterization of transience and recurrence for the different dimensions. Finally we prove Central Limit Theorem for such random walks, under a condition on the distance between nearest coordinate nearest points.

研究动机与目标

• 分析在 ℤ^d 的随机子集上、转移受限于坐标最近邻的对称随机游走的大尺度行为。
• 确定此类游走是否表现出非零扩散（正速度），或在不同维度下是否几乎必然常返或遍历。
• 建立 quenched 功能中心极限定理成立的条件。
• 研究邻点距离矩条件的必要性与充分性，以使中心极限定理成立。

提出的方法

• 定义一个随机环境 ω ∈ {0,1}^ℤ^d，其中站点占据状态为 i.i.d. 或平稳/遍历的，且条件为原点被占据。
• 在随机点过程 P(ω) 上构造一个 quenched 马尔可夫链，其在坐标方向上的最近邻之间具有均匀转移概率。
• 利用 Birkhoff 的遍历定理，证明在环境测度下，每个站点在每个方向上都以几乎必然的频率拥有无限多个邻居。
• 应用谱间隙与校正器方法，在邻点间距离的 (2+ε₀) 阶矩条件下，证明 quenched 功能中心极限定理。
• 使用一个辅助不等式，涉及指数和，以控制中心极限定理证明中的关键项，依赖于 d 维空间中的几何与分析估计。
• 提出关于矩条件必要性的猜想，并探讨向非均匀转移概率的可能推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℤ^d 的随机子集上、仅向最近邻转移的随机游走，其速度是否以几乎必然为非零？
• RQ2 在何种条件下，该游走在不同维度下是常返或遍历的？
• RQ3 此类游走是否满足 quenched 功能中心极限定理？需要何种矩条件？
• RQ4 是否可在更弱的矩假设下（如仅存在有限二阶矩）建立中心极限定理？
• RQ5 是否存在满足中心极限定理但不具有有限 (2+ε) 阶矩的此类游走的例子？

主要发现

• 由于随机环境的非均匀性，无论维度如何，随机游走的速度几乎必然为零。
• 在给定假设下，当 d ≥ 3 时游走是遍历的，当 d = 1, 2 时是常返的。
• 当坐标最近邻间距离的 (2+ε₀) 阶矩有限时，quenched 功能中心极限定理成立。
• 通过校正器方法证明了中心极限定理，其核心在于存在一个调和函数，可将游走校正为收敛于布朗运动的形式。
• 证明中使用了一个辅助不等式：∑_{n=0}^∞ e^{-a·2ⁿ} ≤ c a^{-d}，其中 c = c(d) > 0 且 0 < a ≤ 2。
• 猜想表明，中心极限定理可能在更弱的矩条件下成立，且在适当缩放下，游走可能收敛于布朗运动。