[论文解读] Random walks and exclusion processes among random conductances on random infinite clusters: homogenization and hydrodynamic limit

Alessandra Faggionato|ArXiv.org|Apr 23, 2007

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 17被引用 6

一句话总结

本论文在 $ℤ^d$ ($d \geq 2$) 上的超临界伯努利渗流的随机导率无限簇上建立了随机游走和排除过程的均质化。通过利用两尺度收敛性和遍历性，证明了流体动力学极限导致一个确定性的热方程，其扩散矩阵为非退化的，即使在导率没有统一下界的情况下也成立。

ABSTRACT

We consider a stationary and ergodic random field {ω(b)} parameterized by the family of bonds b in Z^d, d>1. The random variable ω(b) is thought of as the conductance of bond b and it ranges in a finite interval [0,c_0]. Assuming that the set of bonds with positive conductance has a unique infinite cluster C, we prove homogenization results for the random walk among random conductances on C. As a byproduct, applying the general criterion of \cite{F} leading to the hydrodynamic limit of exclusion processes with bond-dependent transition rates, for almost all realizations of the environment we prove the hydrodynamic limit of simple exclusion processes among random conductances on C. The hydrodynamic equation is given by a heat equation whose diffusion matrix does not depend on the environment. We do not require any ellipticity condition. As special case, C can be the infinite cluster of supercritical Bernoulli bond percolation.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{Z}^d$ ($d \geq 2$) 上的超临界随机导率模型的无限簇上，建立连续时间随机游走的均质化。
• 证明在相同随机簇上，具有键依赖跳跃速率的简单排除过程的流体动力学极限。
• 表明极限流体动力学方程为一个与随机环境无关的确定性热方程，其扩散矩阵为常数。
• 在均质化与流体动力学极限结果中，去除对椭圆性（导率的统一正下界）的依赖。
• 证明在超临界渗流条件 $p > p_c$ 下，即使导率不远离零，扩散矩阵仍为正定。

提出的方法

• 利用两尺度收敛性分析无限簇 $\mathcal{C}(\omega)$ 上随机游走生成元的均质化。
• 应用 [F] 中的一般准则，从随机游走的均质化推导出排除过程的流体动力学极限。
• 依赖于生成元 $\mathbb{L}\eta_x$ 对占据变量 $\eta_x$ 的线性性，这由于粒子数守恒而简化了分析。
• 利用排除过程生成元可表示为 $\mathbb{L}f(\eta) = \sum_{b \in \mathcal{E}} \omega(b) (f(\eta^b) - f(\eta))$ 的事实，将其与 $\mathcal{C}(\omega)$ 上的随机游走联系起来。
• 通过校正经验测度法或 [F] 中的一般框架，将流体动力学极限问题约化为均质化问题。
• 利用遍历性与 $\mathbb{Z}^d$-平移不变性简化分析，避免了如 [ZP] 中使用 Palm 测度的需要。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设椭圆性的情况下，是否可以在随机无限簇上为具有键依赖跳跃速率的排除过程建立流体动力学极限？
• RQ2 当导率不远离零时，极限流体动力学方程是否仍保持确定性的扩散矩阵？
• RQ3 极限热方程的扩散矩阵如何依赖于底层的随机导率场？
• RQ4 在超临界渗流条件 $p > p_c$ 下，扩散矩阵是否为正定？
• RQ5 均质化结果能否推广到具有环境依赖跳跃速率的非梯度排除过程？

主要发现

• 无限簇 $\mathcal{C}(\omega)$ 上排除过程的流体动力学极限由一个确定性热方程给出，其扩散矩阵不依赖于导率场的实现。
• 即使导率不从下方被正数控制，对于 $p > p_c$，扩散矩阵仍为正定。
• 该均质化结果无需椭圆性条件，是对先前结果的重要推广。
• 通过将扩散矩阵与电阻网络的有效导率联系起来，证明了其正定性，其中正定性由 $p > p_c$ 时的渗流理论建立。
• 该结果适用于超临界伯努利键渗流模型，其中 $\mathcal{C}(\omega)$ 为无限簇，并可推广至具有唯一无限簇的广义平稳遍历导率场。
• 关键技术步骤是将流体动力学极限约化为随机游走的均质化问题，随后通过两尺度收敛性和扩散矩阵的变分表征加以解决。