[论文解读] Random walks and isoperimetric profiles under moment conditions

Laurent Saloff‐Coste, Tianyi Zheng|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 9

一句话总结

该论文在矩条件约束下，利用等周轮廓和弱矩技术，建立了有限生成群上对称随机游走的返回概率的精确界限。引入了不变量 $\widetilde{\Phi}_{G,\rho}$ 和 $\Phi_{G,\rho}$ 以表征衰减速率，证明了对于多项式体积增长的群，$L^2$-返回概率的衰减行为与幂律或对数行为相匹配，具体取决于矩阶 $\alpha$，并得到了精确的渐近等价关系 $\Lambda_{p,\phi_\alpha}(v) \simeq v^{-\alpha/D}$（当 $\alpha < p$ 时）。

ABSTRACT

Let $G$ be a finitely generated group equipped with a finite symmetric generating set and the associated word length function $|\cdot |$. We study the behavior of the probability of return for random walks driven by symmetric measures $μ$ that are such that $\sum ρ(|x|)μ(x)0$. For this purpose we develop new relations between the isoperimetric profiles associated with different symmetric probability measures. These techniques allow us to obtain a sharp $L^2$-version of Erschler's inequality concerning the Følner functions of wreath products. Examples and assorted applications are included.

研究动机与目标

• 在有限生成群上对称测度的卷积幂的 $L^2$-范数衰减速率进行表征，条件是矩条件成立。
• 建立不同对称测度相关等周轮廓之间的新关系，从而实现对随机游走行为的比较。
• 利用基于矩的不变量，建立半直积中 Følner 函数的 Erschler 不等式的精确 $L^2$-版本。
• 分析具有正规变化或慢变化矩的测度的谱间隙和等周轮廓的精确渐近行为。
• 通过引入 $\widetilde{\Phi}_{G,\rho}$ 和 $\Phi_{G,\rho}$ 作为在矩约束下的拟等距不变量，统一并改进现有的返回概率界限。

提出的方法

• 将 $\Phi_{G,\rho}(n)$ 和 $\widetilde{\Phi}_{G,\rho}(n)$ 定义为在具有有限 $\rho$-矩或弱-$\rho$-矩的对称测度下，$\phi^{(2n)}(e)$ 的下确界。
• 使用等价关系 $\simeq$ 比较 $\Phi_{G,\rho}$ 和 $\widetilde{\Phi}_{G,\rho}$ 的衰减速率，重点关注 $\rho(s) = (1+s)^\alpha$ 或 $\rho(s) = (1+\log(1+s))^\epsilon$ 的情形。
• 通过阿贝尔求和法建立关键不等式：对于具有幂律尾部的测度 $\phi_\alpha$，有 $\phi_\alpha(x) \asymp (1+|x|)^{-\alpha-D}$。
• 利用半径为 $s'$ 的球体进行路径分解论证，以控制差值 $f(xy)-f(x)$ 的 $L^p$-范数，从而导出不等式 $\|f - f * \mathbf{u}_r\|_p^p \lesssim Q_{p,\alpha}(r) \sum |f(xy)-f(x)|^p \phi_\alpha(z)$。
• 通过在尺度参数上进行优化，推导谱间隙 $\Lambda_{p,\phi_\alpha}(v)$ 的渐近行为，其中 $\Lambda_{1,\phi_1}(v) \lesssim v^{-1/D}\log(e+v)$。
• 利用 $L^p$-范数比较和等周技术，证明 $\Lambda_{p,\phi_\alpha}(v) \simeq v^{-\alpha/D}$（当 $\alpha < p$ 时），$\Lambda_{p,\phi_\alpha}(v) \simeq v^{-p/D}\log(e+v)$（当 $\alpha = p$ 时），以及 $\Lambda_{p,\phi_\alpha}(v) \simeq v^{-p/D}$（当 $\alpha > p$ 时）。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称测度的矩条件如何影响卷积幂 $\phi^{(2n)}(e)$ 的 $L^2$-范数衰减速率？
• RQ2 对于满足 $\rho(|x|) = (1+|x|)^\alpha$ 的测度 $\phi_\alpha$，谱间隙 $\Lambda_{p,\phi_\alpha}(v)$ 的精确渐近行为是什么？
• RQ3 当二阶矩不存在时，弱矩变体 $\widetilde{\Phi}_{G,\rho}$ 是否可用于获得返回概率的精确界限？
• RQ4 在矩约束下，不同对称测度的等周轮廓之间有何关系？会涌现出哪些不变量？
• RQ5 在矩条件下，半直积中 Følner 函数的 Erschler 不等式的精确 $L^2$-版本是什么？

主要发现

• 对于体积增长度为 $D$ 的多项式增长群，谱间隙满足 $\Lambda_{p,\phi_\alpha}(v) \simeq v^{-\alpha/D}$（当 $\alpha < p$ 时），反映出矩阶 $\alpha$ 对衰减的影响。
• 当 $\alpha = p$ 时，谱间隙的行为为 $\Lambda_{p,\phi_p}(v) \simeq v^{-p/D}\log(e+v)$，表明临界矩阶导致了对数校正。
• 当 $\alpha > p$ 时，衰减为 $\Lambda_{p,\phi_\alpha}(v) \simeq v^{-p/D}$，表明更高阶矩无法使谱间隙优于 $L^p$-临界速率。
• $\widetilde{\Phi}_{G,\rho}$ 在弱-$\rho$-矩条件下为返回概率提供了精确的下界，且在许多情形下比 $\Phi_{G,\rho}$ 更自然。
• 不等式 $\|f - f * \mathbf{u}_r\|_p^p \lesssim Q_{p,\alpha}(r) \sum |f(xy)-f(x)|^p \phi_\alpha(z)$ 成立，其中 $Q_{p,\alpha}(r)$ 如定义所示，从而实现了对 $L^p$-范数的精确控制。
• 通过 $\widetilde{\Phi}_{G,\rho}$ 框架，半直积中 Følner 函数的 Erschler 不等式的 $L^2$-版本被进一步精确化，其显式衰减速率由矩条件导出。