[论文解读] Random walks in random environment on trees and multiplicative chaos

Mikhail Menshikov, Dimitri Petritis|ArXiv.org|Dec 11, 2001

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文研究在规则、有根、带色树上的随机环境中的随机游走，通过环境矩阵的几何性质建立常返/发散判据。它揭示了此类随机游走与乘法混沌过程之间的深刻联系，表明游走的临界行为对应于关联混沌鞅问题中非平凡解的存在。

ABSTRACT

We study random walks in a random environment on a regular, rooted, coloured tree. The asymptotic behaviour of the walks is classified for ergodicity/transience in terms of the geometric properties of the matrix describing the random environment. A related problem, with only one type of vertices and quite stringent conditions on the transition probabilities but on general trees has been considered previously in the literature LyoPem. In the presentation we give here, we restrict the study of the process on a regular graph instead of the irregular graph used in LyoPem. The close connection between various problems on random walks in random environment and the so called multiplicative chaos martingale is underlined by showing that the classification of the random walk problem can be drawn by the corresponding classification for the multiplicative chaos, at least for those situations where both problems have been solved by independent methods. The chaos counterpart of the problem we considered here has not yet been solved. The results we obtain for the random walk problem localise the position of the critical point. We conjecture that the additional conditions needed for the chaos problem to have non trivial solutions will be the same as the ones needed for the random walk to be null recurrent.

研究动机与目标

• 对规则、有根、带色树上的随机环境中的随机游走的渐近行为（常返/发散）进行分类。
• 建立随机游走的常返/发散性与关联乘法混沌问题中非平凡解存在性之间的严格对应关系。
• 通过分析环境矩阵的谱性质，识别随机游走模型中零常返的临界点。
• 利用乘法混沌理论工具，将已知的随机游走结果推广到更广泛的随机环境类别。
• 推测乘法混沌问题中非平凡解存在的条件与随机游走模型中零常返的条件一致。

提出的方法

• 将树建模为以 d 字符字母表上的有限序列索引的有根、规则、带色图，顶点按其系谱血统编号。
• 将边环境定义为分配给边的独立同分布的随机变量 $\xi_a$，不作独立性或同分布性假设。
• 引入乘法混沌过程 $Y_n(u) = \sum_{v > u, |v| = n + |u|} \xi[u;v]$，表示从 $u$ 到 $v$ 的路径上环境值的乘积。
• 使用生成函数 $f(\beta) = \mathbb{E}[\sum_{i=1}^d \eta_i^\beta]$ 及其勒让德变换 $g(\beta)$ 分析 $Y_n^{(\beta)} = \sum_{v \in \mathbb{V}_n} \xi^\beta[v]$ 的增长速率。
• 应用次可加性与大数定律，证明当 $\beta < \beta_0$ 时，$\frac{1}{n} \log Y_n^{(\beta)} \to g(\beta)$ 几乎必然成立，其中 $\beta_0$ 是函数 $g$ 的图像与其切线相切的点。
• 利用变换鞅 $\hat{Y}_n = \sum_{v \in \mathbb{V}_n} \frac{\xi^\beta[v]}{f(\beta)^n}$ 的一致可积性，推导出其收敛到正极限，并在 $\lambda > 1$ 时推断发散性。

实验结果

研究问题

• RQ1 环境矩阵的何种条件决定了规则树上随机游走的常返或发散？
• RQ2 随机游走问题中零常返的临界点如何与乘法混沌问题中非平凡解的存在性相关联？
• RQ3 能否从关联乘法混沌鞅的行为推导出随机游走的常返/发散分类？
• RQ4 矩矩阵 $\mathbf{m}(x)$ 的最大特征值在决定随机游走与混沌问题相变中的作用是什么？
• RQ5 在何种条件下乘法混沌过程 $Y_n$ 收敛到非退化极限，且这与随机游走的发散性有何关联？

主要发现

• 当 $\lambda > 1$ 时，随机游走是发散的，其中 $\lambda$ 是矩矩阵 $\mathbf{m}(1)$ 的最大特征值，该结论通过关联鞅的一致可积性得以确立。
• 当 $\beta < \beta_0$ 时，归一化的混沌过程 $\hat{Y}_n$ 在 $\mathcal{L}^1$ 中收敛到正极限，意味着 $\frac{1}{n} \log Y_n^{(\beta)} \to g(\beta)$ 几乎必然成立。
• 当 $\lambda = 1$ 时，游走是零常返的，这对应于混沌鞅收敛到非平凡极限的临界情形。
• 当 $\beta > \beta_0$ 时，函数 $\sigma(\beta) = \liminf \frac{1}{n} \log Y_n^{(\beta)}$ 满足 $\sigma(\beta) > 0$，意味着 $Y_n \to \infty$ 指数快速增长，从而意味着游走的发散性。
• 临界点 $\beta_0$ 由条件 $g(\beta)$ 的图像在 $\beta_0 > x_0$ 处与其切线相切，且 $g'(\beta_0) > 0$ 所刻画。
• 作者推测，乘法混沌问题中非平凡解存在的条件与随机游走模型中零常返的条件完全相同。