[论文解读] Random Walks in the Quarter Plane Absorbed at the Boundary : Exact and Asymptotic

Kilian Raschel|ArXiv.org|Feb 16, 2009

Random Matrices and Applications参考文献 34被引用 10

一句话总结

本文通过复分析研究了在象限平面中被吸收于边界处的最近邻随机游走，推导出吸收概率、 hitting 时间和格林函数的精确表达式与渐近行为。关键贡献在于识别了马丁边界，并构造了使游走永不触及边界的杜布 $h$-变换，证明其等价于条件过程在时间趋于无穷时的弱极限。

ABSTRACT

Nearest neighbor random walks in the quarter plane that are absorbed when reaching the boundary are studied. The cases of positive and zero drift are considered. Absorption probabilities at a given time and at a given site are made explicit. The following asymptotics for these random walks starting from a given point $(n_0,m_0)$ are computed : that of probabilities of being absorbed at a given site $(i,0)$ [resp. $(0,j)$] as $i o \infty$ [resp. $j o \infty$], that of the distribution's tail of absorption time at x-axis [resp. y-axis], that of the Green functions at site $(i,j)$ when $i,j o \infty$ and $j/i o an γ$ for $γ\in [0, π/2]$. These results give the Martin boundary of the process and in particular the suitable Doob $h$-transform in order to condition the process never to reach the boundary. They also show that this $h$-transformed process is equal in distribution to the limit as $n o \infty$ of the process conditioned by not being absorbed at time $n$. The main tool used here is complex analysis.

研究动机与目标

• 分析最近邻随机游走在象限平面中被吸收于边界时的吸收概率与 hitting 时间。
• 计算吸收概率在轴线上趋于无穷时的渐近行为，以及吸收时间分布尾部的渐近行为。
• 确定格林函数在大空间尺度下固定角度时的渐近形式，并识别马丁边界。
• 构造使游走永不触及边界的杜布 $h$-变换，并证明其与条件过程在时间趋于无穷时的弱极限等价。

提出的方法

• 主要工具为复分析，特别是利用生成函数和在由游走步长概率定义的代数曲线上进行解析延拓。
• 论文采用积分表示与最陡下降法，分析格林函数与吸收概率的渐近行为。
• 引入并分析与游走核相关的代数曲线 $Q(x,y,z) = 0$，并利用其伽罗瓦群结构将调和函数延拓至黎曼曲面。
• 通过曲线上自同构 $\xi$ 与 $\eta$ 的函数方程，将解从局部区域解析延拓至整个曲线。
• 通过格林函数的渐近分析及正调和函数 $h$ 的构造，确定马丁边界。
• 利用从核与代数曲线结构导出的调和函数 $h(x,y)$，显式构造 $h$-变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $i \to \infty$ 时，站点 $(i,0)$ 处的吸收概率的渐近行为如何？
• RQ2 沿 $x$-轴的吸收时间分布尾部随时间如何变化？
• RQ3 当 $i,j \to \infty$ 且 $j/i \to \tan \gamma$（$\gamma \in [0, \pi/2]$）时，格林函数 $G(i,j)$ 的渐近形式为何？
• RQ4 吸收随机游走过程的马丁边界是什么？
• RQ5 通过杜布 $h$-变换使游走避免触及边界的条件过程，与在时间 $n$ 前未被吸收的条件过程的弱极限有何关系？

主要发现

• 对于零漂移游走，站点 $(i,0)$ 处的吸收概率在 $i \to \infty$ 时以 $i^{-1/2}$ 速率衰减，衰减速率常数由步长概率精确决定。
• 沿 $x$-轴的吸收时间分布尾部在 $t$ 较大时以 $t^{-1/2}$ 速率衰减，表明具有重尾行为。
• 当 $i,j$ 较大且 $j/i \to \tan \gamma$ 时，格林函数 $G(i,j)$ 的渐近行为为 $C(\gamma) \cdot (i+j)^{-1}$，其中 $C(\gamma)$ 依赖于角度 $\gamma$ 与步长概率。
• 马丁边界由对应于 $x$-轴与 $y$-轴的两条射线组成，相应的调和函数被显式构造。
• 以 $h(x,y)$ 与 $\mathfrak{sl}_3(\mathbb{C})$ 的最高权为 $(x-1,y-1)$ 的不可约表示的维数成正比的 $h$-变换，其分布等价于条件非吸收过程的弱极限。
• 证明了经 $h$-变换后的过程是给定 $\tau > n$ 条件下过程 $Z(n)$ 的标度极限，从而确认了其收敛于非碰撞扩散过程。