[论文解读] Random walks on graphene: generating functions, state probabilities and asymptotic behavior

Antonio Di Crescenzo, Claudio Macci+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文研究了代表石墨烯原子结构的六边形晶格上的离散时间随机游走，推导出概率生成函数、转移概率和矩。研究建立了其收敛于二维布朗运动的结论，并运用大偏差理论刻画了渐近行为，为理解二维碳结构中的扩散提供了分析工具。

ABSTRACT

We consider a discrete-time random walk on the nodes of a graphene-like graph, i.e. an unbounded hexagonal lattice. We determine the probability generating functions, the transition probabilities and the relevant moments. The convergence of the stochastic process to a 2-dimensional Brownian motion is also discussed. Finally, we obtain some results on its asymptotic behavior making use of large deviation theory.

研究动机与目标

• 建立并分析代表石墨烯原子结构的无限六边形晶格上的离散时间随机游走模型。
• 推导晶格上概率生成函数和转移概率的精确表达式。
• 研究当步长减小时，随机游走过程收敛于二维布朗运动的特性。
• 利用大偏差原理刻画游走的长期渐近行为。

提出的方法

• 使用生成函数解析计算游走者在 n 步后位置的概率分布。
• 利用六边形晶格的对称性和组合计数方法推导晶格位点之间的转移概率。
• 计算位置分布的矩，以量化扩散范围和扩散特性。
• 应用大偏差理论分析渐近区域中尾部行为和罕见事件。
• 在适当的缩放下，建立重标度随机游走弱收敛于二维布朗运动的结论。
• 使用傅里叶分析和晶格格林函数在频域中求解生成函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称随机游走在六边形晶格上的精确生成函数和转移概率是什么？
• RQ2 当晶格间距趋近于零时，石墨烯晶格上的随机游走如何收敛于二维布朗运动？
• RQ3 在长时间极限下，游走者位置的大偏差行为如何？
• RQ4 位置分布的矩如何随时间演化，它们揭示了扩散各向异性的哪些信息？

主要发现

• 利用晶格对称性和傅里叶变换，推导出了六边形晶格上随机游走的概率生成函数的闭式表达。
• 证明了转移概率在晶格平移和旋转下保持不变，反映了六边形对称性。
• 游走者位置的二阶矩随时间线性增长，与正常扩散一致。
• 当晶格间距趋于零时，重标度随机游走弱收敛于二维布朗运动。
• 大偏差理论表明，大位移的概率呈指数衰减，其速率函数由晶格几何决定。
• 渐近分析证实，游走表现出扩散标度，位置分布随时间趋于高斯分布。