[论文解读] Random walks on graphs: new bounds on hitting, meeting, coalescing and returning

Roberto I. Oliveira, Yuval Peres|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2018

Optimization and Search Problems被引用 5

一句话总结

本文为有限图上的懒惰随机游走建立了新界，改进了返回概率、 hitting 时间以及多条游走共alescence 的估计。证明了离散时间版本的“会面时间引理”，并利用它界定了 $ n $ 条随机游走的期望完全共alescence 时间，表明其至多为 $ K \cdot t_{\text{hit}} $，其中 $ K $ 为绝对常数，显著改进了关键参数区间内先前的结果。

ABSTRACT

We prove new results on lazy random walks on finite graphs. To start, we obtain new estimates on return probabilities $P^t(x,x)$ and the maximum expected hitting time $t_{ m hit}$, both in terms of the relaxation time. We also prove a discrete-time version of the first-named author's ``Meeting time lemma"~ that bounds the probability of random walk hitting a deterministic trajectory in terms of hitting times of static vertices. The meeting time result is then used to bound the expected full coalescence time of multiple random walks over a graph. This last theorem is a discrete-time version of a result by the first-named author, which had been previously conjectured by Aldous and Fill. Our bounds improve on recent results by Lyons and Oveis-Gharan; Kanade et al; and (in certain regimes) Cooper et al.

研究动机与目标

• 推导返回概率 $ P^t(x,x) $ 和最大期望 hitting 时间 $ t_{\text{hit}} $ 的更紧界，以松弛时间 $ t_{\text{rel}} $ 表示。
• 建立“会面时间引理”的离散时间版本，以界定向量游走命中确定性轨迹的概率。
• 将会面时间结果应用于界定向量独立随机游走在图上的期望完全共alescence 时间。
• 在特定参数区间内，改进 Lyons、Oveis-Gharan、Kanade 等人以及 Cooper 等人的现有结果。
• 通过实例和与可逆马尔可夫链已知不等式的比较，证明这些界在本质上是紧的。

提出的方法

• 使用松弛时间 $ t_{\text{rel}} $ 和度比 $ d_{\text{avg}}/d_{\text{min}} $ 作为关键参数，以界定向 $ t_{\text{hit}} $ 和 $ P^t(x,x) - \pi(x) $。
• 通过有效电阻 $ R_{\text{eff}}(x \leftrightarrow A) $ 应用电网络理论，将 hitting 时间与图结构联系起来。
• 引入一种修改后的“吸收过程”，允许吸收集 $ \mathcal{A}_t $，以控制共alescence 动力学并支配原过程。
• 采用递归时间段结构，其中 $ t_j $ 定义为 $ 1 + t_{j-1} + \lceil \frac{2^4 \ln 5}{2^j} t_{\text{hit}} \rceil $，以分析长时间尺度下的共alescence。
• 利用离散时间会面时间引理（定理 3）界定向量游走在 $ t $ 步内避开移动目标的概率。
• 将 Oliveira（2007）的连续时间论证适配到离散时间设置，确保在懒惰性和非负谱条件下依然有效。

实验结果

研究问题

• RQ1 最大期望 hitting 时间 $ t_{\text{hit}} $ 如何以松弛时间 $ t_{\text{rel}} $ 和度比表示？
• RQ2 对于图上的懒惰随机游走，差值 $ P^t(x,x) - \pi(x) $ 的最优界是什么？其如何依赖于顶点度 $ d_x $？
• RQ3 能否建立“会面时间引理”的离散时间版本，以界定向量游走避开确定性轨迹的概率？
• RQ4 在图上 $ n $ 条独立懒惰随机游走的期望完全共alescence 时间是多少？其如何随 $ t_{\text{hit}} $ 变化？
• RQ5 与 Lyons、Oveis-Gharan、Kanade 等人以及 Cooper 等人的现有结果相比，新界在 $ t_{\text{rel}} $、$ d_{\text{avg}}/d_{\text{min}} $ 和 $ t_{\text{mix}} $ 依赖性方面有何差异？

主要发现

• 最大期望 hitting 时间满足 $ t_{\text{hit}} \leq \frac{20\,d_{\text{avg}}}{d_{\text{min}}}\,n\sqrt{t_{\text{rel}} + 1} $，在 $ t_{\text{rel}} $ 和度比依赖性上均优于先前界。
• 对于返回概率，有 $ P^t(x,x) - \pi(x) \leq \frac{10\,d_x}{d_{\text{min}}}\left(\frac{1}{\sqrt{t+1}} \land \frac{\sqrt{t_{\text{rel}} + 1}}{t+1}\right) $，改进了常数，并将 $ d_{\text{max}} $ 替换为 $ d_x $。
• 离散时间会面时间引理成立：$ \mathbb{P}_\pi(\forall s \leq t: X_s \neq h_s) \leq \left(1 - \frac{1}{t_{\text{hit}}}\right)^t $，适用于一般图上的懒惰游走。
• $ n $ 条随机游走的期望完全共alescence 时间被界为 $ K \cdot t_{\text{hit}} $，其中 $ K $ 为绝对常数，证实了 Aldous 和 Fill 的一个猜想。
• 通过匹配 $ t_{\text{rel}} $ 和 $ d_{\text{avg}}/d_{\text{min}} $ 渐近依赖性的实例，证明了这些界在本质上是紧的。
• 结果在 $ 1 \ll t/t_{\text{rel}} \ll \log t_{\text{rel}} $ 的参数区间内，改进了 Lyons 和 Oveis-Gharan、Kanade 等人以及（在某些区间内）Cooper 等人的近期工作，尤其在该区间表现更优。