[论文解读] Random walks with unbounded jumps among random conductances II: Conditional quenched CLT

Christophe Gallesco, Serguei Popov|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文建立了在 i.i.d. 随机导率环境下，具有无界跳跃的一维随机游走的淬灭条件不变原理，证明了在路径在时间 $n$ 之前保持正的条件下，重标度轨迹以环境几乎必然收敛于布朗桥。该结果将统一的淬灭不变原理推广至条件路径，并通过首达时间和穿越时间分析与三维 Bessel 过程建立联系。

ABSTRACT

We study a one-dimensional random walk among random conductances, with unbounded jumps. Assuming the ergodicity of the collection of conductances and a few other technical conditions (uniform ellipticity and polynomial bounds on the tails of the jumps) we prove a quenched conditional invariance principle for the random walk, under the condition that it remains positive until time $n$. As a corollary of this result, we study the effect of conditioning the random walk to exceed level $n$ before returning to 0 as $n o \infty$.

研究动机与目标

• 建立一维随机游走（具有无界跳跃）在随机导率环境下的淬灭条件不变原理。
• 分析当 $n \to \infty$ 时，游走路径在保持正性至时间 $n$ 的条件下，其极限行为。
• 将先前工作中获得的统一淬灭不变原理推广至路径条件化的场景。
• 通过首达时间和穿越时间分析，将淬灭条件分布与布朗桥及三维 Bessel 过程联系起来。

提出的方法

• 使用淬灭条件概率测度 $Q_{\omega}^n$，定义为 $\mathbb{P}_\omega[\cdot \mid \Lambda_n]$，其中 $\Lambda_n = \{X_k > 0 \text{ 对所有 } k=1,\dots,n\}$。
• 通过 $Z^n(t) = \sigma^{-1} n^{-1/2} X_{\lfloor nt \rfloor}$ 对游走进行重标度，并通过分段线性插值在 $[0,1]$ 上定义连续过程。
• 将 [15] 中的统一淬灭不变原理作为关键工具，以控制收敛速度和紧致性。
• 利用布朗运动的标度性质及布朗桥的过渡密度，分析首达时间和穿越时间。
• 将三维 Bessel 过程用作首达时间与桥过程最大值的极限过程。
• 通过有限维分布收敛性与在淬灭测度下的紧致性论证，应用桥过程的泛函极限定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在保持正性条件下，具有无界跳跃的一维随机游走（在 i.i.d. 随机导率中），其重标度轨迹是否在淬灭测度下收敛于布朗桥？
• RQ2 当 $n \to \infty$ 时，游走路径在首次返回 0 前超过水平 $n$ 的条件下，其淬灭极限行为是什么？
• RQ3 淬灭不变原理如何推广至条件分布，特别是具有正性约束的情形？
• RQ4 在满足遍历性与矩条件的环境中，是否能以一致估计的方式建立对布朗桥的收敛性？

主要发现

• 对于几乎所有环境，重标度游走 $Z^n$ 的淬灭条件分布弱收敛于空间 $C[0,1]$ 中的布朗桥 $W^+$。
• 收敛性在游走在时间 $n$ 前保持正的条件下成立，极限过程为布朗桥，即布朗运动在保持正性的条件下的条件分布。
• 在返回 0 前达到水平 $n$ 的首达时间的极限分布与三维 Bessel 过程相关，其首达时间分布与桥过程一致。
• 收敛性具有统一性：收敛速度在原点邻域内所有起始位置上被一致控制，如先前工作 [15] 所建立。
• 游走在时间 $n$ 前保持正的概率以 $n^{-1/2}$ 的速率衰减，与布朗桥的渐近行为一致。
• 证明依赖于有限维分布的紧致性与收敛性，关键步骤是利用三维 Bessel 过程控制淬灭退出与首达时间概率。