[论文解读] Randomization for Markov chains with applications to networks in a random environment

Ruslan Krenzler, Hans Daduna+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2014

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对在随机环境中运行的杰克逊队列网络的随机化重路由算法，其中服务速率因外部因素（如故障、维修或容量变化）而波动。通过动态调整路由概率和整体到达率，该方法维持了网络利用率，并实现了队列长度与环境状态的乘积形式平稳分布，从而无需显式计算平稳分布即可实现高效的性能分析。

ABSTRACT

We develop randomized modifications of Markov chains and apply these modifications to the routing chains of customers in Jacksonian stochastic networks. The aim of our investigations is to find new rerouting schemes for non standard Jackson networks which hitherto resist computing explicitly the stationary distribution. The non standard properties we can handle by suitable algorithms encompass several modifications of Jackson networks known in the literature, especially breakdown and repair of nodes with access modification for customers to down nodes, finite buffers with control of buffer overflow. The rerouting schemes available in the literature for these situations are special cases of our rerouting schemes, which can deal also with partial degrading of service capacities and even with speed up of service. In any case we require our algorithms to react on such general changes in the network with the aim to maintain the utilization of the nodes. To hold this invariant under change of service speeds (intensities) our algorithms not only adapt the routing probabilities but decrease automatically the overall arrival rate to the network if necessary. Our main application is for stochastic networks in a random environment. The impact of the environment on the network is by changing service speeds (by upgrading and/or degrading, breakdown, repair) and we implement the randomization algorithms to react to the changes of the environment. On the other side, customers departing from the network may enforce the environment to jump immediately. So our environment is not Markov for its own. The main result is to compute explicitly the joint stationary distribution of the queue lengths vector and the environment which is of product form: Environment and queue lengths vector, and the queue lengths over the network are decomposable.

研究动机与目标

• 开发适用于非标准杰克逊网络的重路由方案，其中显式计算平稳分布不可行。
• 在服务故障、维修、退化或加速等动态变化下维持网络利用率。
• 将乘积形式结果扩展至受客户离开影响的非马尔可夫环境网络。
• 通过整合随机跳过和反射机制，推广现有重路由模型。
• 提供统一框架，以处理有限缓冲区、部分容量退化及环境引起的速率变化。

提出的方法

• 引入随机跳过和反射作为两种核心重路由机制，根据当前服务速率和环境状态动态调整路由概率。
• 使用依赖环境的因子 γ(k) 建模网络中的服务速率变化（如退化、升级、维修）。
• 为队列长度 X 和环境状态 Y 定义联合马尔可夫过程 (X,Y)，其转移速率同时包含路由和环境转移。
• 应用广义重路由方案 r^(α(k))，并利用不变测度 α_j(k)·η_j 确保稳定性和乘积形式结构。
• 推导出联合平稳分布为 π(n,k) = ξ(n)θ(k)，其中 ξ(n) 是纯杰克逊网络的乘积形式分布，θ(k) 满足约化生成元方程。
• 证明环境过程由于与网络的双向交互并非马尔可夫过程，但联合过程仍保持乘积形式平稳性。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机化重路由方案是否能在服务速率动态变化（如故障或升级）下维持网络利用率？
• RQ2 尽管环境动态具有非马尔可夫性，联合队列长度与环境过程是否仍具有乘积形式平稳分布？
• RQ3 当服务容量退化或提升时，如何实现实时路由调整以保持性能？
• RQ4 所提出的框架能否推广现有模型以处理有限缓冲区、部分退化和维修过程？
• RQ5 在环境依赖的路由与服务速率下，网络的遍历性和乘积形式平稳性需满足何种条件？

主要发现

• 联合队列长度与环境过程 (X,Y) 是一个具有明确定义生成元 Q^Z 的齐次马尔可夫过程，其捕获了路由与环境转移的双重动态。
• 联合过程的平稳分布具有乘积形式：π(n,k) = ξ(n)θ(k)，其中 ξ(n) 是标准杰克逊网络的分布，θ(k) 满足约化生成元方程。
• 由于客户离开带来的反馈，环境过程并非马尔可夫过程，但乘积形式结果依然成立，扩展了以往要求环境为马尔可夫过程的研究。
• 当服务速度下降时，该方法能自动降低整体到达率，从而维持利用率与稳定性。
• 该框架推广了现有模型，涵盖了有限缓冲区、节点故障与维修等特例，同时保持了分析上的可处理性。
• 通过随机跳过和反射实现的重路由方案被证明是更广泛通用随机化框架的特例，且具有可证明的乘积形式结果。