[论文解读] Randomization theorems for quantum channels

Anna Jenčová|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2014

Quantum Information and Cryptography参考文献 24被引用 8

一句话总结

本文通过基截面范数与对偶性，将经典的随机化准则推广至量子通道，利用钻石范数及其对偶性，将完全正映射之外的正迹保持映射的钻石范数及其对偶性进行扩展。核心贡献在于为量子通道的后处理与预处理缺陷建立统一框架，证明了在与固定通道张量积时，量子缺陷与经典缺陷的等价性，从而统一并拓展了先前关于量子实验比较的研究成果。

ABSTRACT

The classical randomization criterion is an important result of statistical decision theory. Recently, a quantum analogue has been proposed, giving equivalent conditions for two sets of quantum states, ensuring existence of a quantum channel mapping one set close to the other, in $L_1$-distance. In the present paper, we extend these concepts in several ways. First, sets of states are replaced by channels and randomization is performed by either post- or pre-composition with another channel. The $L_1$-distance is replaced by the diamond norm. Secondly, the maps are not required to be completely positive, but positivity is given by an admissible family of convex cones. It is shown that the randomization theorems, generalizing both quantum and classical randomization criteria, can be proved in the framework of base section norms, including the diamond norm and its dual. The theory of such norms is developed in the Appendix.

研究动机与目标

• 通过基截面范数与对偶性，将经典的随机化准则推广至量子通道。
• 利用可接受的凸锥，将量子随机化准则从完全正映射扩展至正迹保持映射。
• 为量子通道的后处理与预处理缺陷建立统一框架。
• 证明当通道与固定通道张量积时，量子缺陷与经典缺陷的等价性。
• 将预处理与后处理缺陷与量子测量中POVM的纯净性联系起来。

提出的方法

• 使用基截面范数及其对偶，将钻石范数及其对偶推广至任意正映射。
• 通过通道集与其对偶之间的范数对偶性，定义后处理缺陷。
• 应用有序向量空间中具有正规锥的对偶理论，推导通道近似的条件。
• 通过与固定通道张量积，建立量子缺陷与经典缺陷的等价性。
• 利用伴随映射与序单位对偶性，刻画对偶范数及其与算子序的关系。
• 应用极大极小定理与凸对偶性，证明随机化通道的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的随机化准则能否被推广至完全正映射之外的量子通道？
• RQ2 如何利用基截面范数与对偶性表征后处理与预处理缺陷？
• RQ3 在通道比较中，量子缺陷与经典缺陷之间存在何种关系？
• RQ4 钻石范数及其对偶性如何推广至正迹保持映射？
• RQ5 预处理与后处理缺陷与POVM的纯净性之间存在何种关联？

主要发现

• 量子随机化准则被证明是钻石范数与其对偶之间对偶性的结果，推广了早期研究结果。
• 正迹保持映射的后处理缺陷通过基截面范数及其对偶性得以表征，将BSS定理推广至一般正映射。
• 对于完全正映射，当通道与固定通道张量积时，量子缺陷与经典缺陷等价，统一了先前的研究成果。
• 预处理与后处理缺陷被证明等价于POVM的纯净性（如文献[17]所定义），提供了新的操作性解释。
• 理论在基截面范数框架下建立，附录中完整建立了对偶理论，包括范数表示与对偶恒等式。
• 范数‖·‖_B被证明同时推广了基范数与序单位范数，并满足关键对偶恒等式，如‖b−b′‖_B = 2 sup_{q*∈O_~B ∩ Q*} ⟨b−b′, q*⟩。