[论文解读] Randomized and Deterministic Maximin-share Approximations for Fractionally Subadditive Valuations

Hannaneh Akrami, Kurt Mehlhorn+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2023

Game Theory and Voting Systems被引用 4

一句话总结

本文提出了针对分数次可加（XOS）估值的改进确定性与随机分配算法。在确定性环境下，实现了对最大最小份额（MMS）约 3/13 ≈ 0.230769 的近似；通过随机分配，同时实现了事前（ex-ante）1/4-MMS 和事后（ex-post）1/8-MMS 的保证，推动了不可分物品公平分配领域的最新进展。

ABSTRACT

We consider the problem of guaranteeing maximin-share (MMS) when allocating a set of indivisible items to a set of agents with fractionally subadditive (XOS) valuations. For XOS valuations, it has been previously shown that for some instances no allocation can guarantee a fraction better than $1/2$ of maximin-share to all the agents. Also, a deterministic allocation exists that guarantees $0.219225$ of the maximin-share of each agent. Our results involve both deterministic and randomized allocations. On the deterministic side, we improve the best approximation guarantee for fractionally subadditive valuations to $3/13 = 0.230769$. We develop new ideas on allocating large items in our allocation algorithm which might be of independent interest. Furthermore, we investigate randomized algorithms and the Best-of-both-worlds fairness guarantees. We propose a randomized allocation that is $1/4$-MMS ex-ante and $1/8$-MMS ex-post for XOS valuations. Moreover, we prove an upper bound of $3/4$ on the ex-ante guarantee for this class of valuations.

研究动机与目标

• 改进分数次可加（XOS）估值下最大最小份额（MMS）分配的已知最佳确定性近似保证。
• 设计一种随机分配机制，确保事前（结果发生前）和事后（结果发生后）均具有强公平性保障。
• 弥合已知上界与 XOS 设置下可实现的 MMS 近似比之间的差距。
• 探索在多项式时间内可实现且具有常数 MMS 近似保证的算法的可行性。

提出的方法

• 提出一种新颖的确定性算法，通过多步划分与选择过程，仔细分配大件物品，从而提升 MMS 近似度。
• 采用一种随机分配机制，将物品均匀随机分配给各参与者，确保事前公平性达到 1/4-MMS。
• 结合价值阈值与划分技术，采用混合分析方法，界定在确定性与随机设置下参与者可获得的最小效用。
• 应用关于覆盖与价值估计的引理（如引理 5.4、5.5、5.6），推导已分配组合效用的下界。
• 利用 XOS 估值的结构特性，通过一系列步骤重新分配物品时，界定效用损失的上界。
• 通过反证法论证，假设分配非最优，推导出效用不一致，从而证明 3/13-MMS 保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于分数次可加估值，是否存在一种确定性分配机制，其 MMS 近似比优于 0.219225？
• RQ2 是否存在一种随机分配机制，能同时实现事前优于 1/4-MMS 且事后优于 1/8-MMS 的公平性保障（针对 XOS 估值）？
• RQ3 是否存在一种可在多项式时间内实现且对 XOS 估值实现常数 MMS 近似比的算法？
• RQ4 XOS 估值下，事前 MMS 近似比的最紧上界是多少？
• RQ5 类似的同时事前与事后公平性保障是否可推广至子模与次可加估值函数？

主要发现

• 本文建立了分数次可加估值下确定性 MMS 近似保证为 3/13 ≈ 0.230769，优于先前最佳的 0.219225。
• 提出一种随机分配机制，确保 XOS 估值下事前获得 1/4 的 MMS 值，事后获得 1/8 的 MMS 值。
• 本文证明了 XOS 估值下事前 MMS 近似比的上界为 3/4，表明 1/4 到 3/4 之间仍存在差距。
• 所提出的确定性算法依赖于对大件物品分配与价值阈值的精细化分析，以确保稳健的效用边界。
• 随机算法在期望（事前）下实现强公平性，同时在最坏情况（事后）下维持非平凡的保障。
• 结果表明，通过在后续步骤中引入多物品满足度检查，算法框架仍有进一步改进的可能。