[论文解读] Randomized Approach to Nonlinear Inversion Combining Simultaneous Random and Optimized Sources and Detectors

Selin Aslan, Eric de Sturler+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2017

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 28被引用 3

一句话总结

该论文提出一种混合的随机化与优化方法，通过减少大规模PDE求解次数，加速扩散光学断层扫描（DOT）中的非线性反问题。通过结合随机同时源/探测器与最大化雅可比矩阵灵敏度的优化源/探测器，该方法在仅使用全数据反演约1/12的PDE求解次数下，实现了与全数据反演相当的解质量，显著提升了收敛速度与计算效率。

ABSTRACT

In partial differential equations-based (PDE-based) inverse problems with many measurements, many large-scale discretized PDEs must be solved for each evaluation of the misfit or objective function. In the nonlinear case, evaluating the Jacobian requires solving an additional set of systems. This leads to a tremendous computational cost, and this is by far the dominant cost for these problems. Several authors have proposed randomization and stochastic programming techniques to drastically reduce the number of system solves by estimating the objective function using only a few appropriately chosen random linear combinations of the sources. While some have reported good solution quality at a greatly reduced cost, for our problem of interest, diffuse optical tomography, the approach often does not lead to sufficiently accurate solutions. We propose two improvements. First, to efficiently exploit Newton-type methods, we modify the stochastic estimates to include random linear combinations of detectors, drastically reducing the number of adjoint solves. Second, after solving to a modest tolerance, we compute a few simultaneous sources and detectors that maximize the Frobenius norm of the sampled Jacobian to improve the rate of convergence and obtain more accurate solutions. We complement these optimized simultaneous sources and detectors by random simultaneous sources and detectors constrained to a complementary subspace. Our approach leads to solutions of the same quality as obtained using all sources and detectors but at a greatly reduced computational cost, as the number of large-scale linear systems to be solved is significantly reduced.

研究动机与目标

• 解决在具有数千个源和探测器的DOT中，求解大量大规模PDE所带来的高计算成本问题。
• 克服标准随机逼近法（SAA）在DOT应用中使用随机同时源和探测器时收敛性差、精度低的问题。
• 通过随机化探测器组合减少伴随问题求解次数，提升牛顿型方法的效率与精度。
• 通过引入能捕捉主导雅可比矩阵分量的优化同时源和探测器，提升解的质量与收敛速度。
• 开发一种鲁棒且低成本的框架，结合随机与优化的源/探测器，在保持精度的同时最小化计算开销。

提出的方法

• 使用样本平均近似（SAA）方法，通过随机源和探测器的线性组合来估计目标函数与梯度。
• 将SAA方法扩展至伴随求解阶段，通过随机化探测器组合，大幅减少每次雅可比矩阵评估所需的伴随系统数量。
• 在初始优化阶段使用随机源/探测器后，计算少量能最大化采样雅可比矩阵Frobenius范数的优化同时源和探测器。
• 将优化后的源和探测器约束在互补子空间中，以避免冗余并提升灵敏度捕捉能力。
• 在单一框架中结合随机与优化的源/探测器，以平衡反问题灵敏度结构的探索与利用。
• 使用TREGS信赖域算法结合高斯-牛顿正则化，高效求解非线性最小二乘问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过同时随机化源和探测器，在不牺牲解质量的前提下，减少DOT反问题中的PDE求解次数？
• RQ2 为何标准SAA在DOT中使用随机源和探测器时无法收敛至噪声水平，这种停滞现象如何克服？
• RQ3 能否通过最大化雅可比矩阵灵敏度的优化同时源和探测器，提升非线性反问题中的收敛性与精度？
• RQ4 随机与优化源/探测器之间应如何平衡，才能在最小化计算成本的同时保持高重建保真度？
• RQ5 与动态调整样本大小的方法相比，结合随机与优化源/探测器在收敛速度与精度方面表现如何？

主要发现

• 与在32×32×32网格上使用全部225个源和探测器的全数据反演相比，所提方法将大规模PDE求解总数减少了约12倍。
• 在SAA方法中引入2个优化的同步源和探测器后，收敛性能得到改善，仅用726次PDE求解即达到残差范数δ²，而全数据情况需9225次求解。
• 增加至4个优化源和探测器后，PDE求解次数进一步减少至762次，同时保持了高质量的重建结果。
• 该方法实现了与全数据反演相当的重建质量，即使在中间容忍度下，真实异常体的形状也能被良好逼近。
• 随机与优化源/探测器的结合显著加快了收敛速度，且在标准SAA陷入停滞的后期优化阶段表现出更强的鲁棒性。
• 该方法具有良好的可扩展性，预计在具有大量源、探测器及多频段的更大规模问题中可实现更显著的计算增益。