[论文解读] Randomized Approximation Schemes for Cuts and Flows in Capacitated Graphs

András A. Benczúr, David R. Karger|ArXiv.org|Jul 23, 2002

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 9被引用 15

一句话总结

本文提出了一种非均匀随机采样技术，用于将容量图压缩为边数为 $\tilde{O}(n/\epsilon^2)$ 的稀疏图，同时保持所有割值在原始值的 $1\pm\epsilon$ 范围内。该方法可实现更快的 $s$–$t$ 割近似与最大流计算，$s$–$t$ 最小割的复杂度为 $\tilde{O}(n^{3/2}/\epsilon^3)$，$(1-\epsilon)$-近似最大流的复杂度为 $\tilde{O}(m\sqrt{n}/\epsilon)$，且与最小割大小无关。

ABSTRACT

We improve on random sampling techniques for approximately solving problems that involve cuts and flows in graphs. We give a near-linear-time construction that transforms any graph on n vertices into an O(n\log n)-edge graph on the same vertices whose cuts have approximately the same value as the original graph's. In this new graph, for example, we can run the O(m^{3/2})-time maximum flow algorithm of Goldberg and Rao to find an s--t minimum cut in O(n^{3/2}) time. This corresponds to a (1+epsilon)-times minimum s--t cut in the original graph. In a similar way, we can approximate a sparsest cut to within O(log n) in O(n^2) time using a previous O(mn)-time algorithm. A related approach leads to a randomized divide and conquer algorithm producing an approximately maximum flow in O(m sqrt{n}) time.

研究动机与目标

• 克服先前基于采样的算法对最小割大小 $c$ 的依赖，该依赖限制了边数减少至 $m/c$ 以内。
• 提出一种构建稀疏图 $G'$ 的方法，其边数为 $\tilde{O}(n/\epsilon^2)$，且所有割值均保持在原始图 $G$ 的 $1\pm\epsilon$ 范围内。
• 通过利用压缩图的结构，实现 $s$–$t$ 最小割与最大流的更快近似算法。
• 将 Nagamochi 和 Ibaraki 的稀疏证书技术扩展至支持基于边强度与割敏感性的非均匀采样概率。

提出的方法

• 根据边在最小割中的强度非均匀采样，使跨越小割的边具有更高的采样概率。
• 通过阈值化与最大生成树的分层分解，估计边的重要性和采样概率。
• 应用基于窗口的估计过程，按对数阶段处理边，每阶段将阈值乘以因子 $n$。
• 在每阶段中，对权重超过 $Dn^2$ 的边进行收缩，并删除权重低于 $D$ 的边，以保持具有有界秩的稀疏子图。
• 利用每个 MST 边最多参与三个阶段的事实，限制总代价，并确保所有阶段的标签代价为 $O(n)$。
• 利用广义加权采样定理，证明在非均匀采样下，割值集中在期望值附近。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使图采样独立于最小割大小 $c$，以实现更好的边压缩？
• RQ2 能否构建一个边数为 $\tilde{O}(n/\epsilon^2)$ 的稀疏图，使其所有割值均保持在原始图的 $1\pm\epsilon$ 范围内？
• RQ3 非均匀采样能否在统一采样依赖于 $c$ 的限制之外，进一步提升近似最大流与最小割算法的运行时间？
• RQ4 是否可能将稀疏证书技术扩展以支持反映割敏感性的边采样概率？

主要发现

• 可在 $O(m\log^3 n)$ 时间内为加权图构建一个压缩图 $G'$，其边数为 $O(n\log n/\epsilon^2)$，并保持所有割值在原始值的 $1\pm\epsilon$ 范围内。
• 对于一般容量图，可在 $\tilde{O}(n^{3/2}/\epsilon^3)$ 时间内计算出 $1+\epsilon$ 近似最优的 $s$–$t$ 最小割。
• 对于单位容量图且流值为 $v$ 的情况，可在 $\tilde{O}(nv/\epsilon^2)$ 时间内找到 $1+\epsilon$-近似 $s$–$t$ 最小割，优于 $O(mv)$ 的精确边界。
• 通过非均匀分治方法，可在 $\tilde{O}(m\sqrt{n}/\epsilon)$ 时间内计算出 $(1-\epsilon)$-近似最大流。
• 算法的总标签代价被限制在 $O(n)$ 以内，通过使用对数阈值的逐阶段处理，确保了近线性构建时间。
• 通过聚焦于对小割关键的边进行采样，该方法实现了近似最优的压缩与运行时间改进，避免了统一采样中 $m/c$ 的边数减少瓶颈。