[论文解读] Randomized Approximations of the Image Set of Nonlinear Mappings with Applications to Filtering

Fabrizio Dabbene, Didier Henrion+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出一种随机算法，用于在不确定性下近似非线性映射的像集，利用最小体积多项式超水平集实现概率保证且紧密的近似。该方法被应用于设计一类新型随机预测-校正滤波器，结合了概率保证与计算效率，在数值测试中优于传统的集合理论滤波器和高斯滤波器，同时允许非凸、非连通的近似。

ABSTRACT

The aim of this paper is twofold: In the first part, we leverage recent results on scenario design to develop randomized algorithmsfor approximating the image set of a nonlinear mapping, that is, a (possibly noisy) mapping of a set via a nonlinear function.We introduce minimum-volume approximations which have the characteristic of guaranteeing a low probability of violation, i.e.,we admit for a probability that some points in the image set are not contained in the approximating set,but this probability is kept below a pre-specified threshold.In the second part of the paper, this idea is then exploited to develop a new family of randomized prediction-corrector filters.These filters represent a natural extension and rapprochement of Gaussian and set-valued filters,and bear similarities with modern tools such as particle filters.

研究动机与目标

• 开发计算上可行的、在不确定性下对非线性映射像集的概率保证近似。
• 通过引入一类新型随机预测-校正滤波器，扩展经典集合理论滤波，实现精度与计算效率的平衡。
• 通过使用最小体积多项式超水平集，放宽近似集的凸性约束，实现对非凸像集更紧密且更灵活的描述。
• 提供一个统一高斯滤波与集合值滤波特性的框架，通过概率集合描述实现。
• 通过在有界噪声和测量不确定性下的非线性动态系统数值示例，展示所提方法的有效性。

提出的方法

• 该方法使用基于场景的随机算法，以预设的违反概率 ε 生成非线性映射像集的近似。
• 引入最小体积多项式超水平集作为近似集合，可为非凸或不连通集合，允许比传统外近似或内近似更紧密的描述。
• 预测步骤通过非线性系统动态传播概率状态近似，而校正步骤则利用基于测量噪声界限的板状约束，剔除与测量不一致的样本。
• 该算法通过仅保留满足测量方程在噪声界限内的样本，递归更新状态近似集合，确保概率一致性。
• 该方法利用半定规划计算最小体积近似，多项式次数与结构的选择旨在平衡精度与计算复杂度。
• 采用重采样与被拒绝样本的再利用策略，以在修正过程中大量样本被剔除时仍保持足够的样本量，确保近似可靠性。

实验结果

研究问题

• RQ1 与经典外近似或内近似相比，随机算法能否提供更紧密且更灵活的非线性映射像集近似？
• RQ2 如何利用最小体积多项式超水平集在概率保证下描述非凸和非连通的像集？
• RQ3 能否设计一种随机预测-校正滤波框架，结合集合理论滤波与高斯滤波的优势，同时保持计算可处理性？
• RQ4 在有界不确定性下的非线性滤波中，近似紧致性、计算成本与概率违反概率之间的权衡是什么？
• RQ5 所提滤波器在体积与估计误差方面与现有方法（如zonotopic滤波器和高斯滤波器）相比表现如何？

主要发现

• 所提随机预测-校正滤波器在状态近似体积上达到或优于zonotopic滤波器水平，同时计算更为简单。
• 滤波器保持了概率保证：即使因测量不一致而排除部分样本，真实状态仍以高概率位于近似集合内。
• 通过多项式超水平集，该方法允许非凸与非连通近似，实现了比凸外近似更紧密的描述。
• 数值结果表明，所提滤波器的估计误差范围有时超出最坏情况边界，说明低概率事件被有意忽略，这与概率设计一致。
• 重采样与被拒绝样本的再利用策略提升了算法的鲁棒性与样本效率，尤其在高剔除率场景下表现更优。
• 该方法计算高效，且在维度增加时的扩展性优于传统集合理论方法，适用于更高维系统。