[论文解读] Randomized Gossip Algorithm with Unreliable Communication

Guodong Shi, Mikael Johansson+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2012

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文分析了在不可靠通信条件下的随机化gossip算法，其中节点对以随机方式相遇，双向消息交换的成功概率随时间变化。研究结果表明，共识的达成关键取决于通信依赖性：在完全依赖下，弱连通性即可确保几乎必然达成共识；而在独立通信下，则需要双连通性；在完全依赖下，平均值几乎必然被保持；而在独立通信下，当节点数为奇数时，平均值几乎不可能被保持。

ABSTRACT

In this paper, we study an asynchronous randomized gossip algorithm under unreliable communication. At each instance, two nodes are selected to meet with a given probability. When nodes meet, two unreliable communication links are established with communication in each direction succeeding with a time-varying probability. It is shown that two particularly interesting cases arise when these communication processes are either perfectly dependent or independent. Necessary and sufficient conditions on the success probability sequence are proposed to ensure almost sure consensus or $ε$-consensus. Weak connectivity is required when the communication is perfectly dependent, while double connectivity is required when the communication is independent. Moreover, it is proven that with odd number of nodes, average preserving turns from almost forever (with probability one for all initial conditions) for perfectly dependent communication, to almost never (with probability zero for almost all initial conditions) for the independent case. This average preserving property does not hold true for general number of nodes. These results indicate the fundamental role the node interactions have in randomized gossip algorithms.

研究动机与目标

• 分析在不可靠通信条件下随机化gossip算法的收敛性，其中每个方向的消息传输均受时变成功概率的影响。
• 研究前向与后向通信链路之间的概率依赖性如何影响共识与平均值保持。
• 推导在完全依赖与独立通信模型下，确保几乎必然共识或ε-共识的时变成功概率序列的必要与充分条件。
• 考察网络拓扑结构——特别是弱连通性与双连通性——在不同通信依赖结构下对确保共识的作用。
• 确定共识极限下平均值保持的概率，特别是针对奇数与一般数量的节点。

提出的方法

• 将节点交互建模为随机过程，每一步时间随机均匀选择一对节点进行通信。
• 在每次会面中引入两个不可靠通信链路：每个方向一个，各自以时变的伯努利概率成功。
• 区分两种通信模型：完全依赖（两个链路同时成功或失败）与独立（成功概率统计独立）。
• 使用随机矩阵分析与矩阵乘积方法建模状态演化，重点研究不同概率序列下系统的长期行为。
• 应用测度论论证，证明在独立通信下，能永远保持平均值的初始条件集合的勒贝格测度为零。
• 采用共识矩阵的谱分析与零空间表征，推导出收敛至共识及平均值保持的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 时变成功概率序列需满足何种条件，才能确保在不可靠通信下的随机化gossip算法实现几乎必然共识？
• RQ2 前向与后向通信链路之间的依赖结构如何影响gossip算法的收敛特性？
• RQ3 在弱连通性与双连通性等不同网络拓扑条件下，依赖与独立通信模型下共识几乎必然发生的条件是什么？
• RQ4 共识极限等于节点初始平均值的概率是多少？该概率如何依赖于节点数量与通信依赖性？
• RQ5 当节点数为奇数时，平均值保持特性在独立通信与完全依赖通信下如何变化？

主要发现

• 在完全依赖通信下，底层网络的弱连通性是实现几乎必然共识的必要且充分条件。
• 在独立通信下，双连通性是实现几乎必然共识的必要条件，且该条件也充分。
• 在完全依赖通信下，无论节点数量如何，初始状态的平均值几乎必然被保持（概率为1）。
• 在独立通信下，当节点数为奇数时，几乎所有初始条件下平均值被保持的概率为零。
• 在独立通信且节点数为奇数时，平均值保持几乎不可能发生，表明信息流存在根本性不对称，破坏了共识对称性。
• 在独立通信下，即使期望共识值等于初始平均值，平均值在极限下被保持的初始条件集合的勒贝格测度仍为零。