[论文解读] Randomized Strategies for Robust Combinatorial Optimization

Yasushi Kawase, Hanna Sumita|ArXiv.org|May 20, 2018

Optimization and Search Problems参考文献 34被引用 3

一句话总结

本文提出了两种新颖的近似算法，用于在不确定性下的鲁棒组合优化，其中对独立集的随机策略可最大化多个场景下的最坏情况期望目标值。该方法引入了一种针对线性目标的多面体松弛方案，以及一种基于乘法权重的算法，结合 $(\eta,\gamma)$-约简，显著提升了线性与子模目标的近似比，包括在背包和拟阵设置下的基数鲁棒性。

ABSTRACT

In this paper, we study the following robust optimization problem. Given an independence system and candidate objective functions, we choose an independent set, and then an adversary chooses one objective function, knowing our choice. Our goal is to find a randomized strategy (i.e., a probability distribution over the independent sets) that maximizes the expected objective value. To solve the problem, we propose two types of schemes for designing approximation algorithms. One scheme is for the case when objective functions are linear. It first finds an approximately optimal aggregated strategy and then retrieves a desired solution with little loss of the objective value. The approximation ratio depends on a relaxation of an independence system polytope. As applications, we provide approximation algorithms for a knapsack constraint or a matroid intersection by developing appropriate relaxations and retrievals. The other scheme is based on the multiplicative weights update method. A key technique is to introduce a new concept called $(η,γ)$-reductions for objective functions with parameters $η, γ$. We show that our scheme outputs a nearly $α$-approximate solution if there exists an $α$-approximation algorithm for a subproblem defined by $(η,γ)$-reductions. This improves approximation ratio in previous results. Using our result, we provide approximation algorithms when the objective functions are submodular or correspond to the cardinality robustness for the knapsack problem.

研究动机与目标

• 设计高效的近似算法，用于在最坏情况场景下进行鲁棒组合优化，其中对手在观察到随机策略后选择目标函数。
• 通过利用随机化克服确定性鲁棒优化的 NP-难问题，显著改善最坏情况性能，并实现多项式时间可解性。
• 开发适用于独立系统（包括背包和拟阵约束）的一般算法框架，并提供可证明的近似保证。
• 通过引入新方法如 $(\eta,\gamma)$-约简和基于松弛的检索机制，改进先前的近似比。

提出的方法

• 对于线性目标，该方法首先在独立系统多面体上计算一个近似最优的聚合策略，然后通过基于松弛的方法检索一个损失有界的可行解。
• 提出一种对独立系统多面体的新松弛方式，以控制近似比，使其适用于背包和拟阵交集约束。
• 对于子模和基数鲁棒目标，论文采用基于乘法权重更新的方法，并引入一种新颖的 $(\eta,\gamma)$-约简框架来建模子问题的近似。
• $(\eta,\gamma)$-约简概念使得算法在子问题存在 $\alpha$-近似解时，能够维持一个近乎 $\alpha$-近似的解。
• 该方法将鲁棒优化问题视为两人零和博弈，其中算法选择混合策略，对手选择最坏情况场景，从而可应用博弈论求解技术。
• 通过归一化目标函数并确保随机策略在所有可能的基数约束下均达到保证的近似比，将该框架应用于基数鲁棒性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 与确定性策略相比，随机化是否能显著改善组合优化在不确定性下的最坏情况性能？
• RQ2 当目标函数为线性、子模或对应于基数鲁棒性时，鲁棒组合优化可实现何种近似保证？
• RQ3 如何将乘法权重更新方法与新结构概念如 $(\eta,\gamma)$-约简结合，以改进近似比？
• RQ4 是否可能设计一种通用算法框架，在独立系统上的鲁棒优化中，其近似比优于先前方法？
• RQ5 即使确定性版本为 NP-难问题，是否仍可在多项式时间内求解随机化鲁棒优化问题？

主要发现

• 本文证明，随机化鲁棒优化问题在多项式时间内可解，与确定性版本的 NP-难性形成鲜明对比，即使在基数约束下的线性目标下亦然。
• 对于线性目标，所提出的基于松弛的方案实现了依赖于独立系统多面体松弛的近似比，对背包和拟阵交集约束提供了具体保证。
• 基于乘法权重的方案结合 $(\eta,\gamma)$-约简，优于先前的近似比，当子问题存在 $\alpha$-近似解时，可实现近乎 $\alpha$-近似的解。
• 该框架在背包设置下的基数鲁棒性问题中提供了 $\frac{2n}{2n+1}$-近似比，当 $n$ 增大时趋近于 1。
• 本文证明，当且仅当一个划分问题实例有解时，存在一个随机化 $\alpha$-鲁棒解，建立了鲁棒优化与 NP-完全性之间的紧密联系。
• 在基数鲁棒性问题中，该方法实现了 $\alpha = \frac{1}{4} \cdot \frac{3C - 2v(0)}{C - v(0)}$ 的近似比，其值等于 $1 - \frac{r}{2}$，且在给定构造下为紧致界。