[论文解读] Randomly switched vector fields sharing a zero on a common invariant face

Édouard Strickler|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2018

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文研究具有随机切换向量场的连续时间半马尔可夫过程（PDMPs），这些向量场在原点处共享一个共同零点，并保持一个面不变。文章建立了在雅可比矩阵块结构下，基于与之相关的李雅普诺夫指数符号的条件，使得该过程几乎必然收敛到原点，或在原点外存在不变测度，从而推广了以往要求所有李雅普诺夫指数同号的结论。

ABSTRACT

We consider a Piecewise Deterministic Markov Process given by random switching between finitely many vector fields vanishing at $0$. It has been shown recently that the behaviour of this process is mainly determined by the signs of Lyapunov exponents. However, results have only been given when all these exponents have the same sign. In this note, we consider the degenerate case where the process leaves invariant some face and results are stated when the Lyapunov exponents are of opposite signs. Applications are given to Lorenz vector fields with switching, and to SIRS model in random environment.

研究动机与目标

• 扩展先前关于随机切换向量场PDMP的研究结果，这些结果此前要求所有李雅普诺夫指数符号一致。
• 分析系统保持包含原点的面不变的退化情形，导致雅可比矩阵呈块下三角形式。
• 基于块分量中最大李雅普诺夫指数的符号，建立过程几乎必然收敛到原点或存在避开原点的不变概率测度的充分条件。
• 解决随机切换洛伦兹向量场分析中的一个空白，并推广在马氏切换下的SIRS模型结果。

提出的方法

• 将过程建模为状态空间 $M \times E$ 上的PDMP，其中 $M$ 是一个包含原点的紧致局部星形集，$E$ 是有限个切换模式的集合。
• 假设向量场在原点处为零，并保持面 $\{0_n\} \times \mathbb{R}^m$ 不变，导致雅可比矩阵呈块下三角形式 $A^i = \begin{pmatrix} B^i & 0 \\ C^i & D^i \end{pmatrix}$。
• 通过在轨迹上对线性化系统应用乘法遍历定理分析李雅普诺夫指数，最大指数 $\lambda_1(B)$ 和 $\lambda_1(D)$ 决定长期行为。
• 利用过程的生成元分析径向分量 $\rho$ 和角分量 $\hat{\Theta}$、$\Theta^m$ 的演化，导致李雅普诺夫指数贡献的分解。
• 通过分析函数 $\hat{V}(\rho, \hat{\theta}, \theta^m, i) = -\log \rho$ 在生成元下的漂移，研究不变测度，证明当 $\Lambda_B^+ < \Lambda_D^-$ 时 $\mu \hat{H} > 0$。
• 证明利用了切换过程的遍历性，并借鉴Hennion（1984）的结果以及连续时间乘法遍历定理，将全系统李雅普诺夫谱与块 $B^i$ 和 $D^i$ 的谱联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有随机切换向量场并在不变面上收敛于共同零点的PDMP会几乎必然收敛到原点？
• RQ2 当李雅普诺夫指数符号混合时，何种因素决定此类系统存在不将质量赋予原点的不变概率测度？
• RQ3 雅可比矩阵块分量 $B^i$ 和 $D^i$ 的李雅普诺夫指数如何影响切换系统的长期行为？
• RQ4 该结果能否解决随机切换洛伦兹向量场分析中此前未被涵盖的混合李雅普诺夫指数问题？
• RQ5 在多大程度上，该框架可推广并恢复具有马氏切换的SIRS模型？

主要发现

• 若与 $B^i$ 块相关的最大李雅普诺夫指数为负，且与 $D^i$ 块相关的最大李雅普诺夫指数也为负，则过程几乎必然收敛到原点。
• 若与 $B^i$ 块相关的最大李雅普诺夫指数为正，而与 $D^i$ 块相关的最大李雅普诺夫指数为负，则过程存在一个不将质量赋予原点的不变概率测度。
• 即使全系统李雅普诺夫指数符号混合，结果依然适用，这使得先前要求所有指数同号的[BS18]结果不再适用。
• 全系统李雅普诺夫谱满足 $\lambda_1(A) = \max(\lambda_1(B), \lambda_1(D))$，表明主导指数由最大最大李雅普诺夫指数的块决定。
• 面 $\{0_n\} \times \mathbb{R}^m$ 对过程是可达的，确保当径向分量 $\rho$ 趋近于零时，该面上的行为主导长期动力学。
• 该框架恢复并略微扩展了具有马氏切换的SIRS模型结果，并解决了洛伦兹向量场随机切换分析中的一个开放问题。