[论文解读] Range-Renewal Processes: SLLN, Power Law and Beyonds

Xinxing Chen, Jian-Sheng Xie+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2013

Complex Network Analysis Techniques参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文为独立同分布的重尾分布中的范围更新过程建立了强有力的强大数定律（SLLN），推导出相关随机图中度分布的幂律行为。通过分析随机过程中访问的不同数值的增长速率，证明了范围几乎必然收敛到其期望值，揭示了在底层分布的矩条件较弱时，网络呈现无标度和小世界特性。

ABSTRACT

Given $n$ samples of a regular discrete distribution $π$, we prove in this article first a serial of SLLNs results (of Dvoretzky and Erdös' type) which implies a typical power law when $π$ is heavy-tailed. Constructing a (random) graph from the ordered $n$ samples, we can establish other laws for the degree-distribution of the graph. The phenomena of small world is also discussed.

研究动机与目标

• 解决关于无限、离散、重尾分布的独立同分布过程中范围 $ R_n $ 精确增长速率的开放问题。
• 将Dvoretzky和Erd"os型SLLN推广到对称随机游动以外的一般独立同分布序列，特别是在正 recurrent 或 null recurrent 的情形下。
• 建立由有序独立同分布样本构成的随机图的度分布呈现幂律行为的条件。
• 研究从范围更新过程导出的此类随机图模型中，小世界现象的出现机制。
• 基于方差和期望增长速率，提出一个通用准则，以推导范围过程泛函的SLLN。

提出的方法

• 提出一个基于部分和方差的通用SLLN准则：若 $ \mathrm{Var}(S_n) \leq C \cdot (\mathbb{E}S_n)^{2-\delta} $ 对于 $ \delta > 0 $ 成立，则 $ S_n / \mathbb{E}S_n \to 1 $ 几乎必然。
• 将该准则应用于范围 $ R_n $，即 $ n $ 个独立同分布样本中不同数值的个数，在分布 $ \pi $ 的尾部满足正则变化条件的前提下。
• 引入泛函 $ R_{n,\ell+} $ 和 $ \widetilde{R}_{n,k+,\ell+} $ 以分析访问频次，并推导出所诱导随机图中的度分布。
• 通过 $ \varphi^{-1}(n) $ 的渐近展开式表示 $ \mathbb{E}R_{n,\ell+} $ 和 $ \mathbb{E}\widetilde{R}_{n,k+,\ell+} $，其中 $ \varphi $ 是 $ \pi $ 的尾函数，从而推导出增长速率。
• 在尾指数 $ \gamma = \gamma(\pi) \in [0,1] $ 的不同情形下，通过验证方差条件，建立 $ R_{n,\ell+} $、$ \widetilde{R}_{n,k+,\ell+} $ 和 $ R_n $ 的SLLN。
• 分析三种情形：非临界情形（$ \gamma \in (0,1) $）、亚临界情形（$ \gamma = 0 $）和超临界情形（$ \gamma = 1 $），每种情形均表现出不同的渐近行为和度分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 从重尾分布中抽取 $ n $ 个独立同分布样本时，不同数值个数 $ R_n $ 的精确增长速率是什么？
• RQ2 在无限状态空间的一般独立同分布过程中，$ R_n / \mathbb{E}R_n \to 1 $ 几乎必然成立的条件是什么？
• RQ3 由序列 $ \xi_1, \dots, \xi_n $ 构成的随机图的度分布的渐近行为如何？
• RQ4 该模型是否能表现出小世界特性？在何种分布假设下？
• RQ5 尾指数 $ \gamma(\pi) $ 在决定度分布的函数形式以及范围过程收敛速率方面起什么作用？

主要发现

• 对于具有正则变化尾指数 $ \gamma \in (0,1) $ 的独立同分布序列，几乎必然有 $ \lim_{n \to \infty} R_n / \mathbb{E}R_n = 1 $。
• 恰好被访问 $ \ell $ 次的数值的期望个数 $ \mathbb{E}R_{n,\ell+} $ 的渐近表达式为 $ \frac{\Gamma(\ell - \gamma)}{(\ell-1)!} \cdot \varphi^{-1}(n) \cdot (1 + o(1)) $，其中 $ \varphi $ 是 $ \pi $ 的尾函数。
• 所诱导随机图的度分布服从指数为 $ 2 - \gamma $ 的幂律，该结果源于访问频次的渐近频率。
• 在亚临界情形 $ \gamma = 0 $ 时，有 $ \mathbb{E}R_{n,\ell+} \sim \mathbb{E}R_n $，意味着大多数数值仅被访问少数几次，且 $ R_n $ 的增长速度慢于任何 $ n $ 的幂次。
• 在超临界情形 $ \gamma = 1 $ 时，有 $ \mathbb{E}R_n \sim \varphi^{-1}(n) \cdot \psi(\log n) $，其中 $ \psi $ 为慢变函数，且 $ \mathrm{Var}(R_{n,\ell+}) \leq C \cdot (\mathbb{E}R_{n,\ell+})^{3/2} $，从而可通过通用准则实现SLLN。
• 该模型表现出小世界现象：随机图中节点间的典型距离关于 $ n $ 为对数级，与小世界特性一致，这是由于度分布具有重尾特性且聚类系数较高。