[论文解读] Range Theorems for Quantum Probability and Entanglement

Itamar Pitowsky|ArXiv.org|Dec 12, 2001

Quantum Mechanics and Applications被引用 17

一句话总结

本文提出了一种基于从纠缠态导出的量子概率分布范围的几何框架，用于量化量子纠缠。它将集合 $bell(n)$ 定义为通过两体系统上的量子测量可获得的所有联合概率矩阵的集合，证明了其凸性以及与经典概率范围 $c(n)$ 的超集关系，并提出了一种基于量子轨迹 $b(W,n)$ 与经典多面体 $c(n)$ 之间最大距离的几何纠缠度量，该度量在且仅在产品（可分）态时为零。

ABSTRACT

We consider the set of all matrices of the form $p_{ij}=tr[W(E_{i}\otimes F_{j})]$ where $E_{i}$, $F_{j}$ are projections on a Hilbert space $H$, and $W$ is some state on $H\otimes H$. We derive the basic properties of this set, compare it with the classical range of probability, and note how its properties may be related to geometric measures of entanglement.

研究动机与目标

• 定义并表征集合 $bell(n)$，表示具有每个子系统 $n$ 个投影的两体系统中量子联合概率的范围。
• 将 $bell(n)$ 与经典关联多面体 $c(n)$ 进行比较，确立 $bell(n) \supset c(n)$ 的关系，并证明纠缠态会产生超出 $c(n)$ 范围的概率分布。
• 基于量子轨迹 $b(W,n)$ 与经典多面体 $c(n)$ 之间的最大欧氏距离，提出一种几何纠缠度量，该度量当且仅当状态为可分时为零。
• 研究该度量在 Schmidt 秩主导关系下的单调性，并探讨其与冯·诺依曼熵等已知纠缠度量的潜在联系。

提出的方法

• 将 $bell(n)$ 定义为矩阵 $(p_{ij})$ 的集合，其中 $p_{ij} = \mathrm{tr}[W(E_i \otimes F_j)]$，$W$ 为 $H \otimes H$ 上的量子态，$E_i, F_j$ 为有限维希尔伯特空间 $H$ 上的投影算符。
• 证明 $bell(n)$ 是凸集，并满足 $q(n) \supset bell(n) \supset c(n)$，其中 $q(n)$ 使用子空间交集而非张量积。
• 将轨迹 $b(W,n)$ 定义为对于固定纯态 $W = |\Psi\rangle\langle\Psi|$，在变化投影 $E_i, F_j$ 时所有此类矩阵的集合。
• 通过在 $[0,1]^2$ 上使用均匀测度构造经典概率空间，证明 $b(W,n) \subset c(n)$ 当且仅当 $W$ 为产品态。
• 定义几何纠缠度量 $\mathcal{E}(W) = \sup_{(p_{ij}) \in b(W,n)} \min_{(q_{ij}) \in c(n)} \| (p_{ij}) - (q_{ij}) \| $，其中使用 $\Re_{n+1}$ 上的连续范数。
• 利用 Gisin 和 Peres 的结果表明，非产品态会违反贝尔不等式，意味着 $b(W,n) \nsubseteq c(n)$，因此对于纠缠态有 $\mathcal{E}(W) > 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 集合 $bell(n)$ 的几何结构是什么，它与经典关联多面体 $c(n)$ 有何关系？
• RQ2 量子轨迹 $b(W,n)$ 与经典多面体 $c(n)$ 之间的最大距离能否作为有效的纠缠度量？
• RQ3 在何种条件下，该几何度量在 Schmidt 秩主导关系下保持单调性？
• RQ4 该几何度量与已知纠缠度量（如冯·诺依曼熵）之间是否存在联系？

主要发现

• $bell(n)$ 是一个包含 $c(n)$ 的凸集，且当 $n \geq 2$ 时 $bell(n) \supset c(n)$ 严格成立，严格包含关系源于纠缠态产生超出经典范围的概率分布。
• 对于任意纯态 $W = |\Psi\rangle\langle\Psi|$，轨迹 $b(W,n)$ 完全位于 $c(n)$ 内当且仅当 $W$ 为产品态；否则 $b(W,n) \nsubseteq c(n)$，表明可通过违反经典不等式检测到量子非定域性。
• 定义为到 $c(n)$ 距离上确界的几何纠缠度量 $\mathcal{E}(W)$ 当且仅当 $W$ 为产品态时为零，使其成为忠实的纠缠度量。
• 由于 $c(n)$ 的紧致性以及欧氏拓扑下范数的连续性，度量 $\mathcal{E}(W)$ 是连续且良定义的。
• 当 $n=2$ 时，$c(n)$ 的面定义不等式数量为 24 个，包括 Clauser-Horne 不等式，这些不等式被纠缠态所违反，从而确认了纠缠 $W$ 的 $b(W,n)$ 的非经典性。
• 本文未解决 $\mathcal{E}(W)$ 是否在 Schmidt 主导关系下保持单调性，或是否等价于冯·诺依曼熵等已知度量，尽管其通过 Nielsen 定理提示了可能的联系。