[论文解读] Rank-based persistence

Mattia G. Bergomi, Pietro Vertechi|arXiv (Cornell University)|May 22, 2019

Topological and Geometric Data Analysis被引用 4

一句话总结

本文通过在正则范畴和阿贝尔范畴中公理化秩函数，提出了一套统一的范畴框架来处理持久同调，从而将持久模推广到向量空间或集合之外的更广范畴。在半单阿贝尔范畴中，该框架证明了交错距离与多色瓶颈距离相等，使得具有对称性或标签的数据（如群作用或带标签的点云）可通过彩色持久图进行结构化分析。

ABSTRACT

Persistence has proved to be a valuable tool to analyze real world data robustly. Several approaches to persistence have been attempted over time, some topological in flavor, based on the vector space-valued homology functor, other combinatorial, based on arbitrary set-valued functors. To unify the study of topological and combinatorial persistence in a common categorical framework, we give axioms for a generalized rank function on objects in a target category, so that functors to that category induce persistence functions. We port the interleaving and bottleneck distances to this novel framework and generalize classical equalities and inequalities. Unlike sets and vector spaces, in many categories the rank of an object does not identify it up to isomorphism: to preserve information about the structure of persistence modules, we define colorable ranks, persistence diagrams and prove the equality between multicolored bottleneck distance and interleaving distance in semisimple Abelian categories. To illustrate our framework in practice, we give examples of multicolored persistent homology on filtered topological spaces with a group action and labeled point cloud data.

研究动机与目标

• 通过秩函数在统一的范畴框架下统一拓扑与组合持久性理论。
• 将经典持久性工具（如持久图、交错距离与瓶颈距离）推广至任意正则范畴与阿贝尔范畴。
• 通过引入彩色秩与多色持久图，将持久同调扩展至具有群作用的过滤空间或带标签点云等结构化数据。
• 在半单阿贝尔范畴中证明多色瓶颈距离等于交错距离，推广经典稳定性结果。
• 通过将标签信息融入拓扑相似性度量，为机器学习中的结构化数据分析提供基础。

提出的方法

• 将带秩范畴定义为在对象上配备整数值秩函数的正则范畴，推广了维数与基数的概念。
• 从到带秩范畴的函子构造范畴持久函数，将[4]中的一致采样方法推广至更丰富的目标范畴。
• 引入纤维秩函数作为系统化构建秩函数的方法，使维数与基数成为特例。
• 在范畴设定下通过角点及其重数定义持久图，推广经典构造。
• 引入持久图的着色以保留结构信息（如群作用或标签），导出多色瓶颈距离。
• 证明在半单阿贝尔范畴中，当双射保持颜色时，交错距离等于多色瓶颈距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过秩函数在统一的范畴框架下推广拓扑与组合持久性理论？
• RQ2 秩函数需满足何种公理，才能在任意范畴中支持持久图与稳定距离？
• RQ3 如何将持久性扩展至具有群作用的过滤空间或带标签点云等结构化数据？
• RQ4 在广义持久性框架中，多色瓶颈距离在何种条件下等于交错距离？
• RQ5 彩色持久图能否提供一种尊重标签或对称性等附加数据结构的拓扑相似性度量？

主要发现

• 本文在正则与阿贝尔范畴中基于秩函数建立了一套广义持久性框架，统一了经典与组合方法。
• 证明在半单阿贝尔范畴中，当双射保持颜色时，交错距离等于多色瓶颈距离。
• 该框架可为具有群作用的过滤拓扑空间构造多色持久图，同时保留群表示结构。
• 带标签点云数据可通过多色持久性分析，其中标签定义着色，实现结构化相似性度量。
• 广义持久性框架在任意函子下保持交错与 $\epsilon$-交错结构，支持跨范畴的分层分析。
• 纤维秩构造方法可恢复经典秩函数，如向量空间中的维数与集合中的基数。