[论文解读] Rank Conditions for Observability and Controllability for Time-varying Nonlinear Systems

Agostino Martinelli|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2020

Adaptive Control of Nonlinear Systems参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文将可观测性与可控制性秩条件扩展至时变非线性系统，提出了新的分析准则，该准则推广了现有针对时不变非线性系统及时变线性系统的条件。所提出的条件具备算法可实现性，并应用于登月模块，证明了在推力恒定约束下，尽管由于推进剂消耗导致质量与惯性随时间变化，系统仍表现出除偏航角外的弱局部可观测性与弱局部可控制性。

ABSTRACT

This paper provides the extension of the observability rank condition and the extension of the controllability rank condition to time-varying nonlinear systems. Previous conditions to check the state observability and controllability, only account for nonlinear systems that do not explicitly depend on time, or, for time-varying systems, they only account for the linear case. In this paper, the general analytic conditions are provided. The paper shows that both these two new conditions (the extended observability rank condition and the extended controllability rank condition) reduce to the well known rank conditions for observability and controllability in the two simpler cases of time-varying linear systems and time-invariant nonlinear systems. The proposed new conditions work automatically and can deal with any system, independently of its complexity (state dimension, type of nonlinearity, etc). Simple examples illustrate both these conditions. In addition, the two new conditions are used to study the observability and the controllability properties of a lunar module. For this system, the dynamics exhibit an explicit time-dependence due to the variation of the weight and the variation of the moment of inertia. These variations are a consequence of the fuel consumption. To study the observability and the controllability properties of this system, the extended observability rank condition and the extended controllability rank condition introduced by this paper are required. The paper shows that, even under the constraint that the main rocket engine delivers constant power, the state is weakly locally controllable. Additionally, it is weakly locally observable up to the yaw angle.

研究动机与目标

• 解决时变非线性系统中弱局部可观测性与可控制性缺乏通用分析条件的问题。
• 将经典可观测性与可控制性秩条件推广至具有显式时间依赖性的系统。
• 提供一个统一框架，该框架在时变线性系统与时不变非线性系统情况下退化为已知条件。
• 实现对具有时变参数的实际系统（如航空航天飞行器）的系统性分析。
• 通过登月模块案例研究展示该方法的适用性，该系统因推进剂消耗导致质量与惯性发生变化。

提出的方法

• 提出基于可观测余分布的时间导数与李导数的扩展可观测性秩条件，适用于时变系统。
• 定义一种新的时间依赖李导数算子，记为 $\widetilde{\mathcal{L}}_f$，以处理时变向量场。
• 提出一种迭代算法，通过连续应用 $\widetilde{\mathcal{L}}_f$ 与时间导数来计算可观测余分布。
• 利用新的括号运算 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 构建扩展的可控制性秩条件，以考虑时变动力学。
• 通过递归算法实现条件的计算，每一步生成可观测余分布与可控制分布的生成元。
• 通过简单示例与包含质量与惯性时变的现实航空航天应用（登月模块）验证该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典可观测性秩条件能否推广至时变非线性系统？
• RQ2 非线性时变系统是否存在可控制性秩条件的对应扩展？
• RQ3 新条件在时变线性与时不变非线性系统情况下如何退化为已知结果？
• RQ4 新条件在具有时变参数的实际航空航天系统中可应用到何种程度？
• RQ5 因推进剂消耗导致质量与惯性变化的登月模块，其可观测性与可控制性特性如何？

主要发现

• 扩展的可观测性秩条件成功识别出登月模块的弱局部可观测性（除偏航角外），这是由于系统质量与惯性随时间变化所致。
• 扩展的可控制性秩条件确认了即使主火箭发动机输出恒定推力，登月模块仍具有弱局部可控制性。
• 在起飞与着陆分析的第二阶段中，证明了起飞与着陆过程中绝对尺度的可观测性直接源于质量变化。
• 所提出的条件具备算法可实现性，并在时变线性与时不变非线性系统情况下正确退化为标准秩条件。
• 该方法无需简化假设或线性化，即可实现对复杂、非线性、时变系统的分析。
• 结果表明，新条件兼具通用性与实用性，适用于任意复杂度与非线性的系统。