[论文解读] Rank Equalities Related to Generalized Inverses of Matrices and Their Applications

Yongge Tian|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2000

Matrix Theory and Algorithms参考文献 82被引用 9

一句话总结

本文提出了一种通用方法，用于通过分块矩阵的秩公式，计算涉及广义逆（如Moore-Penrose逆、Drazin逆和加权Moore-Penrose逆）的矩阵表达式的最大秩和最小秩。该方法建立了关键的秩等式，并将其应用于刻画矩阵方程、逆序律以及Schur补，通过结构化矩阵表达式的秩分析，为涉及广义逆的矩阵恒等式提供了必要且充分的条件。

ABSTRACT

This paper is divided into two parts. In the first part, we develop a general method for expressing ranks of matrix expressions that involve Moore-Penrose inverses, group inverses, Drazin inverses, as well as weighted Moore-Penrose inverses of matrices. Through this method we establish a variety of valuable rank equalities related to generalized inverses of matrices mentioned above. Using them, we characterize many matrix equalities in the theory of generalized inverses of matrices and their applications. In the second part, we consider maximal and minimal possible ranks of matrix expressions that involve variant matrices, the fundamental work is concerning extreme ranks of the two linear matrix expressions $A - BXC$ and $A - B_1X_1C_1 - B_2X_2C_2$. As applications, we present a wide range of their consequences and applications in matrix theory.

研究动机与目标

• 开发一种通用方法，用于表达和计算涉及各种广义逆的矩阵表达式的秩。
• 利用基于秩的条件，刻画广义逆理论中的矩阵等式。
• 确定形如 A − BXC 和 A − B1X1C1 − B2X2C2 的矩阵表达式的最大和最小可能秩。
• 应用秩公式，推导逆序律和矩阵方程一致性的必要且充分条件。
• 提供构造性方法，用于完成具有极值秩的三角分块矩阵。

提出的方法

• 推导涉及Moore-Penrose逆、Drazin逆、群逆以及加权Moore-Penrose逆的矩阵表达式的通用秩公式。
• 使用分块矩阵分解和Schur补技术，表达复杂矩阵表达式的秩。
• 应用秩恒等式，例如当 Y 属于 X 的零空间时，有 r(X) = r([X, Y]) − r(Y)，并利用分块结构下的秩可加性。
• 采用归纳法计算含变量上三角分块矩阵 X 的表达式的极值秩。
• 通过将 A − BXC 及相关表达式转化为分块矩阵形式，建立其最大秩和最小秩的公式。
• 利用子矩阵和投影算子（如 EA = I − AA†）的秩等式，推导矩阵恒等式的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义逆矩阵的逆序律 (ABC)† = C†B†A† 在何种条件下成立？
• RQ2 当 X 为变量上三角分块矩阵时，矩阵表达式 A − BXC 的最大和最小可能秩为何？
• RQ3 矩阵方程 B1XC1 + B2Y C2 = A 在何种条件下有解？其解矩阵的极值秩为何？
• RQ4 在何种条件下，一个分块矩阵可具有指定上三角分块结构的广义逆？
• RQ5 如何确定涉及广义逆的Schur补及矩阵和的极值秩？

主要发现

• A − BXC 的最大秩由涉及 A、B 和 C 的子块的一系列矩阵秩表达式的最小值给出。
• A − BXC 的最小秩表示为某些子矩阵的秩之和减去重叠子矩阵的秩之和，该结果通过分块矩阵变换推导得出。
• 矩阵方程 BXC = A 一致当且仅当 A 的值域包含于 B 的值域中，A^T 的值域包含于 C^T 的值域中，且满足某些关于分块子矩阵的秩条件。
• 上三角分块矩阵 A 存在上三角分块内逆当且仅当对所有 k = 1, ..., p−1，有 r(A) = r(Q1k) + r(Qk+1,p) − r(Qk+1,k)。
• 在 A − BXC 中实现最大或最小秩的上三角分块矩阵 X 唯一当且仅当关联分块矩阵的对角块满足某些秩条件。
• 本文提供了显式构造方法，通过归纳的列、行及次对角分块填充过程，计算三角分块矩阵的极值秩填充。