[论文解读] Rank gradient, cost of groups and the rank versus Heegaard genus problem

Miklós Abért, Nikolay Nikolov|ArXiv.org|Jan 12, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 18

一句话总结

本文建立了残有限群的秩梯度与其在陪集树边界空间上的作用的代价之间的深刻联系。证明了对于Farber链，秩梯度等于作用代价减一，并利用此结果表明，若拓扑动力系统中的固定代价问题为真，则秩与Heegaard亏格猜想不可能同时成立——为该猜想在算术双曲3-流形中不成立提供了强有力证据。

ABSTRACT

We study the growth of the rank of subgroups of finite index in residually finite groups, by relating it to the notion of cost. As a by-product, we show that the `Rank vs. Heegaard genus' conjecture on hyperbolic 3-manifolds is incompatible with the `Fixed Price problem' in topological dynamics.

研究动机与目标

• 通过Farber链研究残有限群中秩梯度与代价之间的关系。
• 解决拓扑动力系统中秩与Heegaard亏格猜想与固定代价问题之间的张力。
• 证明：若固定代价问题成立，则双曲3-流形中Heegaard亏格与秩的比值可任意增大。
• 证明：对于SL₂(ℂ)中的算术格，其在同余子群上的秩梯度为零，意味着秩增长为次线性。
• 为秩与Heegaard亏格猜想在算术双曲3-流形的渐近情形下不成立提供证据。

提出的方法

• 将群Γ关于Farber链(Γₙ)的秩梯度定义为当n→∞时，(d(Γₙ)−1)/[Γ:Γₙ]的极限。
• 引入陪集树T(Γ, (Γₙ))及其边界∂T，配备Γ作用与归一化的哈尔测度。
• 建立秩梯度等于∂T上作用代价减一的关系，即RG(Γ, (Γₙ)) = cost(E)−1。
• 利用Lackenby关于算术格同余塔中具有τ性质及线性Heegaard亏格增长的结果。
• 应用代价–秩梯度恒等式，证明：若代价不依赖于链的选择，则秩相对于亏格的增长为次线性。
• 假设代价−1具有乘性，推导出秩梯度不依赖于Farber链的选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 残有限群的秩梯度是否依赖于Farber链的选择？
• RQ2 若固定代价问题有肯定解，则秩与Heegaard亏格猜想能否在双曲3-流形中成立？
• RQ3 群作用在边界空间上的代价是否与有限指数子群秩的渐近增长相关？
• RQ4 算术双曲3-流形是否表现出任意大的Heegaard亏格与基本群秩之比？
• RQ5 可测作用的代价在取有限指数子群时是否具有乘性？

主要发现

• 关于Farber链的群的秩梯度等于其在陪集树边界上作用的代价减一。
• 对于SL₂(ℤ[i])等算术格，其在同余子群上的秩梯度为零，意味着相关作用的代价为1。
• 若固定代价问题成立，则双曲3-流形中Heegaard亏格与秩的比值可无界增长。
• 对秩与Heegaard亏格猜想的反例并非奇特，而是在算术双曲3-流形的渐近情形下普遍出现。
• 该结果源于Lackenby在同余塔中Heegaard亏格线性增长的结果，与零秩梯度所暗示的次线性秩增长相结合。
• 本文通过证明此类群的代价为1，对Kechris与Miller提出的问题（即SL(2,D)的代价为1当且仅当D有无穷多个单位元）给出了否定回答。