[论文解读] Rank logic is dead, long live rank logic!

Erich Grädel, Wied Pakusa|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 4

一句话总结

该论文表明，rank逻辑FPR——通过为每个素数域单独引入rank算子来扩展固定点逻辑的计数能力（FPC）——由于不同素数域之间表达能力不可比较，因此不足以捕捉多项式时间。为此，论文提出了FPR∗，一种统一的rank逻辑，其能涵盖FPR，并证明其严格强于无计数的可解性逻辑，从而解决了有限模型论中关于rank算子与可解性算子表达能力极限的关键开放问题。

ABSTRACT

Motivated by the search for a logic for polynomial time, we study rank logic (FPR) which extends fixed-point logic with counting (FPC) by operators that determine the rank of matrices over finite fields. While FPR can express most of the known queries that separate FPC from PTIME, nearly nothing was known about the limitations of its expressive power. In our first main result we show that the extensions of FPC by rank operators over different prime fields are incomparable. This solves an open question posed by Dawar and Holm and also implies that rank logic, in its original definition with a distinct rank operator for every field, fails to capture polynomial time. In particular we show that the variant of rank logic FPR* with an operator that uniformly expresses the matrix rank over finite fields is more expressive than FPR. One important step in our proof is to consider solvability logic FPS which is the analogous extension of FPC by quantifiers which express the solvability problem for linear equation systems over finite fields. Solvability logic can easily be embedded into rank logic, but it is open whether it is a strict fragment. In our second main result we give a partial answer to this question: in the absence of counting, rank operators are strictly more expressive than solvability quantifiers.

研究动机与目标

• 研究扩展了固定点逻辑计数能力（FPC）的rank逻辑FPR的表达能力限制，即在有限域上引入rank算子。
• 解决rank算子在不同素数域上表达能力是否可比较的开放问题。
• 确定可解性逻辑（FPS），即在FPC中加入线性系统可解性量化器的扩展，是否严格弱于rank逻辑。
• 建立FPR∗——一种对所有素数使用单一算子的统一rank逻辑——作为FPR的更强后继逻辑。
• 在无计数的背景下，研究可解性逻辑与rank逻辑之间的关系，特别是关于可定义性层次结构的问题。

提出的方法

• 基于对称群和等价类型构造一组结构，以模拟有限域上的矩阵秩计算。
• 使用FOC（带计数的一阶逻辑）项，将Fp上的矩阵秩定义为线性系统解数的函数。
• 将矩阵系统Mn⋅x=1转换为更小结构上的压缩系统M∗n⋅x=1，从而实现在简化逻辑中的可定义性。
• 应用层次结构论证，结合空间层次定理，证明某些类可在FORp中定义，但不能在FOSp中定义，从而实现严格分离。
• 通过证明在空签名下FOSp < FORp，表明可解性量化器无法在无计数情况下模拟rank算子。
• 采用博弈论视角讨论潜在扩展，尽管此部分仍处于探索性阶段。

实验结果

研究问题

• RQ1 不同素数域上的rank算子（FPR）在表达能力上是否可比较？
• RQ2 由于FPR依赖于每个素数域单独的算子，其是否因无法捕捉多项式时间而失败？
• RQ3 在无计数的情况下，可解性逻辑（FPS）是否严格弱于rank逻辑？
• RQ4 FPR∗——一种对所有素数使用单一算子的统一rank逻辑——是否严格强于FPR？
• RQ5 在无计数的一阶逻辑中，可解性量化器能否模拟rank算子？

主要发现

• 不同素数域上的rank算子在表达能力上不可比较，这意味着FPR无法捕捉多项式时间。
• 统一rank逻辑FPR∗严格强于FPR，因为它能表达所有素数上的统一矩阵秩问题。
• 在无计数的情况下，rank算子严格强于可解性量化器，表明FPS是FPR∗的严格子集。
• 仅当基数为r的基类在FORp中可定义时，大小为qr的结构类才可在FOSp中定义，这建立了层次结构，从而暗示FOSp < FORp。
• 在有界颜色类大小的结构上，可解性逻辑FPS与rank逻辑FPR∗具有相同的表达能力，但这种等价性在一般情况下不成立。
• 本文提供了证据表明FPR∗可能仍不足以捕捉Ptime，提示在环（如Z4）上的线性系统可能将其与Ptime分离开来。