[论文解读] Rank One Hilbert Geometries

Mitul Islam|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文通过将秩一等距变换定义为自伴变换群中的收缩元素，引入了秩一希尔伯特几何——即在射影空间中配备希尔伯特度量的恰当严格凸区域。研究证明，包含此类等距变换的离散子群要么是几乎循环的，要么是无筒超双曲的，从而在拟同态空间、秩一等距变换的泛性以及闭测地线计数等方面具有应用。

ABSTRACT

We develop a notion of rank one properly convex domains (or Hilbert geometries) in the real projective space. This is in the spirit of rank one non-positively curved Riemannian manifolds and CAT(0) spaces. We define rank one isometries for Hilbert geometries and characterize them as being equivalent to contracting elements (in the sense of geometric group theory). We prove that if a discrete subgroup of automorphisms of a Hilbert geometry contains a rank one isometry, then the subgroup is either virtually cyclic or acylindrically hyperbolic. This leads to several applications like infinite-dimensionality of the space of quasi-morphisms, counting results for conjugacy classes and genericity results for rank one isometries.

研究动机与目标

• 在非正曲率黎曼流形的推广基础上，定义并表征希尔伯特几何中的秩一等距变换。
• 通过自伴变换群中收缩元素的动态表征，建立希尔伯特几何中秩一等距变换的动态刻画。
• 证明自伴变换群中包含秩一等距变换的离散子群要么是几乎循环的，要么是无筒超双曲的。
• 将该理论应用于计算二阶有界上同调、研究秩一等距变换的泛性，并计数此类几何中的闭测地线。

提出的方法

• 通过存在一条轴（即被等距变换保持的射影线段）且该轴不包含于任何半三角形的条件来定义秩一等距变换，推广了CAT(0)空间中秩一的概念。
• 采用贝斯特维纳-藤原的收缩元素概念，来刻画希尔伯特几何中的秩一等距变换。
• 证明秩一等距变换是收缩元素，反之亦然，从而在希尔伯特几何背景下建立了两种概念之间的等价性。
• 应用无筒超双曲性理论，证明任何包含秩一等距变换的Aut(Ω)的离散子群要么是几乎ℤ的，要么是无筒超双曲的。
• 利用投影映射π_A和ρ_A映射，定义并分析测地线路径系统(X, PS)中的收缩性，将西斯托与贝斯特维纳-藤原的收缩定义联系起来。
• 应用有界上同调与拟同态理论的结果，计算此类群上的拟同态空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏C²光滑性与雅可比场的非严格凸希尔伯特几何中，秩一等距变换的适当推广是什么？
• RQ2 如何通过动力学与几何性质（特别是与收缩元素的关系）来刻画希尔伯特几何中的秩一等距变换？
• RQ3 在何种条件下，自伴变换群Aut(Ω)的离散子群若包含一个秩一等距变换，则为无筒超双曲的？
• RQ4 该分类对这类群的二阶有界上同调与拟同态空间有何影响？
• RQ5 在离散子群Aut(Ω)中，秩一等距变换在何种意义下是泛性的？关于闭测地线的增长性可得出什么结论？

主要发现

• 希尔伯特几何Ω中的秩一等距变换恰好是Aut(Ω)中的收缩元素，从而建立了秩一条件的动态刻画。
• 若离散子群Γ ≤ Aut(Ω)包含一个秩一等距变换，则其要么是几乎循环的，要么是无筒超双曲的，提供了强有力的结构二分法。
• 此类群上的拟同态空间是无限维的，这通过二阶有界上同调得到证明，其同构于拟同态空间。
• 在较弱的动力学假设下，秩一等距变换在群作用的极限集中是稠密的，即具有泛性。
• 在Ω/Γ中，长度≤T的闭测地线数量随T呈指数增长，这与无筒超双曲性及阴影性质一致。
• 在希尔伯特几何背景下，通过投影映射与路径系统，建立了西斯托与贝斯特维纳-藤原收缩概念之间的等价性。