[论文解读] Rank one matrices do not contribute to the failure of the finiteness property

Ian D. Morris|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2011

Point processes and geometric inequalities参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文证明了秩一矩阵不会导致联合谱半径的有限性性质失效。若一个有限矩阵集缺乏有限性性质，则其秩至少为二的子集也必然缺乏该性质，且具有相同的联合谱半径，这意味着只有非秩一矩阵才会导致此类失效。

ABSTRACT

The joint spectral radius of a bounded set of d times d real or complex matrices is defined to be the maximum exponential rate of growth of products of matrices drawn from that set. A set of matrices is said to satisfy the finiteness property if this maximum rate of growth occurs along a periodic infinite sequence. In this note we give some sufficient conditions for a finite set of matrices to satisfy the finiteness property in terms of its rank one elements. We show in particular that if a finite set of matrices does not satisfy the finiteness property, then the subset consisting of all matrices of rank at least two is nonempty, does not satisfy the finiteness property, and has the same joint spectral radius as the original set. We also obtain an exact formula for the joint spectral radii of sets of matrices which contain at most one element not of rank one, generalising a recent result of X. Dai.

研究动机与目标

• 研究秩一矩阵在联合谱半径的有限性性质失效中的作用。
• 确定矩阵集缺乏有限性性质是否可归因于秩一元素。
• 建立有限性性质成立的条件，特别是当集合中仅有一个矩阵的秩≥2时。
• 推广X. Dai关于一对矩阵（其中一个是秩一矩阵）的近期结果。
• 阐明高阶矩阵在有限性性质反例中的结构性必要性。

提出的方法

• 使用通过算子范数和乘积谱半径定义的联合谱半径。
• 应用如下刻画：$\varrho(\mathsf{A}) = \inf_{n \geq 1} \sup_{A \in \mathsf{A}_n} \|A\|^{1/n}$，其中$\mathsf{A}_n$是所有长度为$n$的乘积的集合。
• 对矩阵维数$d$使用归纳法，通过引理2.1将问题约化为低维块。
• 当不存在极值范数时，利用可逆矩阵$U$对矩阵进行分块上三角化，将$A_i$分解为$B_i$、$C_i$和$D_i$块。
• 比较各块之间的谱半径与联合谱半径，证明$\varrho(\mathsf{A}) = \max\{\varrho(\mathsf{B}), \varrho(\mathsf{D})\}$。
• 对低维块$\mathsf{B}$应用归纳法，确保在相同假设下$\mathsf{B}$的有限性性质成立，然后将结果提升回$\mathsf{A}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限性性质的失效是否可能仅由秩一矩阵引起？
• RQ2 矩阵集的联合谱半径与其秩一和秩≥2分量的联合谱半径之间有何关系？
• RQ3 当集合中仅有一个矩阵的秩≥2时，有限性性质在何种条件下成立？
• RQ4 当集合中仅含秩一矩阵时，有限性性质是否保持或被破坏？
• RQ5 若集合中至多含一个秩≥2矩阵，联合谱半径是否可通过仅包含秩一矩阵的周期性乘积实现？

主要发现

• 若有限矩阵集$\mathsf{A}$的$d \times d$矩阵缺乏有限性性质，则其秩至少为二的子集$\mathsf{R}$也必然缺乏有限性性质。
• 当$\mathsf{A}$缺乏有限性性质时，$\mathsf{A}$的联合谱半径等于$\mathsf{R}$的联合谱半径，即$\varrho(\mathsf{A}) = \varrho(\mathsf{R})$。
• 若$\mathsf{A}$缺乏有限性性质，则集合$\mathsf{R}$必须至少包含两个元素。
• 对于任意有限矩阵集$\mathsf{A}$，若其至多包含一个秩≥2的矩阵，则其联合谱半径可通过每个秩一矩阵至多出现一次的矩阵乘积实现。
• 在两个矩阵中有一个为秩一的情况下，联合谱半径为$\rho(B)$或$\rho(AB^n)^{1/(n+1)}$（$n \geq 0$），推广了X. Dai的结果。
• 当$\mathsf{R}$为空集或$\varrho(\mathsf{R}) < \varrho(\mathsf{A})$时，有限性性质对$\mathsf{A}$成立，且其可由仅包含有限重复的秩一矩阵的乘积实现。