[论文解读] Rank Two Bipartite Bound Entangled States Do Not Exist

Paweł Horodecki, John A. Smolin+2 more|ArXiv.org|Oct 29, 1999

Quantum Information and Cryptography被引用 4

一句话总结

该论文证明了秩为二的双-partite 量子态无法表现出束缚纠缠，这是一种无法通过局部操作和经典通信（LOCC）浓缩为最大纠缠态的纠缠形式。通过秩约束和边缘秩分析，作者建立了一种结论：任何束缚纠缠态的支撑必须位于至多 n×n 的希尔伯特空间上，从而得出结论：不存在秩为二的此类态，解决了量子信息理论中长期悬而未决的一个问题。

ABSTRACT

We explore the relation between the rank of a bipartite density matrix and the existence of bound entanglement. We show a relation between the rank, marginal ranks, and distillability of a mixed state and use this to prove that any rank n bound entangled state must have support on no more than an n imes n Hilbert space. A direct consequence of this result is that there are no bipartite bound entangled states of rank two. We also show that a separability condition in terms of a quantum entropy inequality is associated with the above results. We explore the idea of how many pure states are needed in a mixture to cancel the distillable entanglement of a Schmidt rank n pure state and provide a lower bound of n-1. We also prove that a mixture of a non-zero amount of any pure entangled state with a pure product state is distillable.

研究动机与目标

• 研究低秩双-partite 量子态的结构约束及其表现出束缚纠缠的潜力。
• 解决关于束缚纠缠态是否可以存在秩为二的开放性问题。
• 建立密度矩阵的秩、其边缘秩与纠缠可浓缩性之间的联系。
• 为理解双-partite 系统中束缚纠缠所需的最小秩提供理论基础。

提出的方法

• 分析双-partite 密度矩阵的秩与其约化密度矩阵（边缘秩）之间的关系。
• 基于秩和边缘秩约束，推导出可浓缩性的必要条件。
• 应用量子熵不等式以表征低秩态中的可分性与纠缠。
• 使用反证法证明：若一秩为二的态不可浓缩，则其无法支持束缚纠缠。
• 证明任何束缚纠缠态必须被支撑在维度至多为 n×n 的希尔伯特空间上（对于秩为 n 的态）。
• 证明将任意非零量的纯纠缠态与纯乘积态混合，将导致可浓缩态。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在秩为二的双-partite 量子态是束缚纠缠的，即纠缠但不可浓缩？
• RQ2 对于秩为 n 的束缚纠缠态，其所需的最小希尔伯特空间维度是多少？
• RQ3 密度矩阵及其边缘的秩如何约束纠缠的可浓缩性？
• RQ4 是否存在一个基本下限，规定需要多少纯态才能抵消一个 Schmidt 秩为 n 的纯态的可浓缩纠缠？
• RQ5 将任意非零量的纯纠缠态与乘积态混合后，其混合态是否仍保持可浓缩？

主要发现

• 根据秩和边缘秩约束，已证明不存在秩为二的双-partite 束缚纠缠态。
• 任何秩为 n 的束缚纠缠态必须被支撑在维度至多为 n×n 的希尔伯特空间上。
• 从全局秩与边缘秩之间的相互作用中，推导出可浓缩性的必要条件。
• 为抵消一个 Schmidt 秩为 n 的纯态的可浓缩纠缠，所需纯态的最小数量至少为 n−1。
• 将任意非零量的纯纠缠态与纯乘积态混合，其结果态总是可浓缩的。
• 一个量子熵不等式提供了与束缚纠缠秩约束一致的可分性判据。