[论文解读] Rapid Polynomial Approximation on Stein Manifolds

Auðunn Skúta Snæbjarnarson|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2016

Meromorphic and Entire Functions参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文将Bernstein-Walsh-Siciak定理与Winiarski定理推广至配备满足特定曲率条件的强拟凸函数的Stein流形。研究建立了关于ψ-多项式逼近速率与全纯函数增长之间关系的精确定量估计，证明当且仅当函数在由极值函数$V_{K,\psi}$定义的某个水平集之外全纯延拓时，逼近速度才足够快，且精确的衰减速率由曲率参数决定。

ABSTRACT

In this paper we generalize to a certain class of Stein manifolds the Bernstein-Walsh-Siciak theorem which describes the equivalence between possible holomorphic continuation of a function $f$ defined on a compact set $K$ in $\mathbb{C}^N$ to the rapidity of the best uniform approximation of $f$ on $K$ by polynomials. We also generalize Winiarski's theorem which relates the growth rate of an entire function $f$ on $\mathbb{C}^N$ to its best uniform approximation by polynomials on a compact set.

研究动机与目标

• 将$\mathbb{C}^N$中多项式逼近的经典Bernstein-Walsh-Siciak定理推广至一类配备特定强拟凸函数的Stein流形。
• 将Winiarski定理（全纯函数的增长与其多项式逼近之间的关系）推广至更广泛的流形类。
• 建立$\psi$-多项式在全纯函数空间$\mathcal{O}(X)$的Fréchet空间中稠密的充分条件。
• 为紧致非拟极值集$K$定义并分析广义$\psi$-Lelong类及其相关极值函数$V_{K,\psi}$。

提出的方法

• 在Stein流形$X$上引入$\psi$-多项式的概念，其通过强拟凸函数$\psi$的逐点增长控制来定义。
• 对$(1,1)$-形式$\frac{i}{2}\partial\bar{\partial}e^{\psi}$施加曲率条件，以确保良好截断函数的存在性，并控制$L^2$估计。
• 使用带截断函数$\chi_t$的$\bar{\partial}$-技巧，这些函数在与$\psi$相关的函数$\varphi$的子水平集上紧支集，以估计逼近误差$d_K(f, \mathcal{P}^\psi_t)$。
• 将$L^2$估计应用于推导$t \cdot (d_K(f, \mathcal{P}^\psi_t))^{\varrho/t}$的$\limsup$的界，将衰减速率与$f$的增长联系起来。
• 通过扰动$\varphi_\epsilon$使用Ricci补偿器与正则化技术处理初始函数$\varphi$不满足所需条件的情形。
• 依赖Zeriahi的抽象Lelong类与极值函数$V_{K,\psi}$来表征与快速逼近相对应的全纯延拓区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种曲率条件下，Stein流形上$\psi$-多项式能实现快速多项式逼近？
• RQ2 在紧集$K$之外，$\psi$-多项式逼近速率与函数的全纯延拓之间有何关系？
• RQ3 Winiarski关于整函数增长与其逼近关系的定理能否推广至$S$-抛物型Stein流形？
• RQ4 在何种条件下，$\psi$-多项式在$\mathcal{O}(X)$（即$X$上全纯函数空间）中稠密？
• RQ5 极值函数$V_{K,\psi}$与逼近速率有何关系？它在表征全纯延拓中起什么作用？

主要发现

• 本文证明：$\limsup_{t\to\infty} t \cdot (d_K(f, \mathcal{P}^\psi_t))^{\varrho/t} \leq e \cdot \varrho \cdot \sigma$当且仅当$f$全纯延拓至集合$\{z \in X : V_{K,\psi}(z) < \log(L)\}$，对某个$L > 1$，从而在逼近速度与全纯延拓之间建立了精确联系。
• 逼近速率由控制$\|f\|_{\{\varphi \leq \log r\}}$增长的参数$\varrho$与控制$\limsup$的$\log \|f\|_{\{\varphi \leq \log r\}} / r^\varrho$的参数$\sigma$定量控制。
• 当$\psi$为特殊强拟凸函数时，空间$\mathcal{P}^\psi_t$的维数有限，且有界于$\binom{N + nM}{N}$，从而为每个$\psi$-多项式定义了明确的$\psi$-次数。
• 证明表明，若$f$能被$\psi$-多项式快速逼近，则$\|G\|_{\{V_{K,\psi} \leq \log r\}}$的增长至多为$r^{\varrho} e^{\sigma r^{\varrho}}$，且增长速率$\sigma$是精确的。
• 即使初始函数$\varphi$不满足曲率条件，结果依然成立，通过使用扰动函数$\varphi_\epsilon$并取$\epsilon \to 0$，表明逼近准则具有鲁棒性。
• 推论建立了$\mathcal{P}^\psi$在$\mathcal{O}(X)$中稠密的充分条件，基于极值函数$V_{K,\psi}$的行为与$f$的增长。