[论文解读] Rare mutations limit of a steady state dispersion trait model

Benoı̂t Perthame, Panagiotis E. Souganidis|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Evolution and Genetic Dynamics参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文通过稀有突变极限方法，研究了在空间和影响扩散速率的遗传性状共同结构下的种群中扩散性状的演化。当突变率趋于零时，种群集中于单一性状，即扩散率最低的性状，其演化由通过WKB和粘性解方法推导出的约束型哈密顿-雅可比方程所控制，演化速度由有效适应度函数决定。

ABSTRACT

The evolution of dispersal is a classical question in evolutionary ecology, which has been widely studied with several mathematical models. The main question is to define the fittest dispersal rate for a population in a bounded domain, and, more recently, for traveling waves in the full space. In the present study, we reformulate the problem in the context of adaptive evolution. We consider a population structured by space and a genetic trait acting directly on the dispersal (diffusion) rate under the effect of rare mutations on the genetic trait. We show that, as in simpler models, in the limit of vanishing mutations, the population concentrates on a single trait associated to the lowest dispersal rate. We also explain how to compute the evolution speed towards this evolutionary stable distribution. The mathematical interest stems from the asymptotic analysis which requires a completely different treatment of the different variables. For the space variable, the ellipticity leads to the use the maximum principle and Sobolev-type regularity results. For the trait variable, the concentration to a Dirac mass requires a different treatment. This is based on the WKB method and viscosity solutions leading to an effective Hamiltonian (effective fitness of the population) and a constrained Hamilton-Jacobi equation.

研究动机与目标

• 理解在稀有突变条件下，空间异质环境中扩散性状的演化机制。
• 确定在空间和连续扩散性状共同结构下的种群中，进化稳定分布的特征。
• 在突变率趋于零的极限下，推导最适性状的长期演化动态。
• 建立一个数学框架，通过有效适应度和哈密顿-雅可比方程，将稳态扩散模型与演化动态联系起来。

提出的方法

• 构建一个具有空间和性状结构的种群模型，其中扩散率依赖于遗传性状θ，采用在空间和性状变量上均具有扩散的非局部、非线性PDE。
• 应用稀有突变极限ε→0，对空间和性状变量采取不同处理方式：对空间使用最大值原理和Sobolev正则性，对性状使用WKB方法和粘性解理论以实现性状集中。
• 利用约束型哈密顿-雅可比方程描述最适性状的演化，有效适应度由一个主特征值问题导出。
• 引入模型的时间依赖抛物型版本以研究动态演化，导出性状时间演化的典型方程。
• 通过最优性状处有效适应度的Hessian矩阵与梯度，推导最适性状的演化速度。
• 在θ方向采用周期性边界条件，在x方向采用Neumann边界条件，以简化分析并确保先验估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当扩散率是可遗传性状时，在稀有突变条件下，种群会向何种性状演化？
• RQ2 在空间异质环境中，种群的有效适应度如何依赖于扩散性状？
• RQ3 对于空间结构化的种群，在稀有突变极限下，演化动态的数学结构是什么？
• RQ4 在突变率趋于零的极限下，如何量化扩散性状的演化速度？
• RQ5 非局部椭圆算子的主特征值在决定演化稳定性方面起什么作用？

主要发现

• 在稀有突变极限ε→0下，种群密度在性状变量上集中于单一性状，对应最低扩散率，形成狄拉克函数型集中。
• 最优性状θ̄由最大化有效适应度确定，有效适应度定义为依赖于种群分布的非局部椭圆算子的主特征值。
• 最适性状的演化动态由包含有效适应度和适应度函数梯度的约束型哈密顿-雅可比方程控制。
• 性状的演化速度由一个典型方程给出，其依赖于值函数的Hessian矩阵与最优性状处有效适应度的梯度。
• 数值模拟证实，最适性状随时间向更低的扩散率演化，示例中种群分布集中在θ=0附近。
• 有效适应度函数H(θ, N)通过算子−D(θ)Δx + K(x) − N的主特征值定义，其中N为总种群密度。