[论文解读] Rastall's gravity equations and Mach's Principle

V. Majernı́k, Lukáš Richterek|ArXiv.org|Oct 13, 2006

Computational Physics and Python Applications参考文献 8被引用 11

一句话总结

本文研究了Rastall的修正引力理论，该理论通过引入一个自由参数α，推广了爱因斯坦场方程，从而放松了能量-动量张量散度为零的要求。研究表明，Rastall方程通过使引力源项依赖于度规或引力势（尤其是在牛顿极限下，当α ≠ 1时，质量密度变为势的函数），体现了马赫原理，因此相较于标准广义相对论，提供了一个更具‘马赫性’的框架。

ABSTRACT

Rastall generalized Einstein's field equations relaxing the Einstein's assumption that the covariant divergence of the energy-momentum tensor should vanish. His field equations contain a free parameter alpha and in an empty space, i.e. if T_{μν}=0, they reduce to the Einstein's equations of standard general relativity. We calculate the elements of the metric tensor given by Rastall' equations for different αassuming that T_{μν} to be that of a perfect fluid and analyse these model solutions from the point of view of Mach's principle. Since the source terms in Rastall's modified gravity equations include the common energy-momentum tensor T_{μν} as well as the expressions of the form (1-α)g_{μν}T/2, these source terms depend on metric determined by the mass and momentum distribution of the external space. Likewise, in the classical limit, the source term of the corresponding Poisson equation for α eq 1 depends on the gravitational potential in the sense of Mach's principle.

研究动机与目标

• 评估Rastall的修正引力方程是否满足马赫原理的关键要求之一：惯性质量依赖于外部物质的分布。
• 分析Rastall方程在不同α值下对理想流体时空的度规张量解。
• 考察Rastall理论的牛顿极限，确定泊松方程的源项是否如马赫物理所要求的那样依赖于引力势。
• 通过场方程的结构比较Rastall理论与标准广义相对论在兼容马赫原理方面的差异。

提出的方法

• 将Rastall的场方程重写为源项显式包含标准能量-动量张量$ T_{\mu\nu} $和附加项$ \left(1-\alpha\right)g_{\mu\nu}T/2 $的形式，其中α为自由参数。
• 求解Rastall方程在球对称、各向同性理想流体时空下的解，以得到度规张量分量关于α的函数表达式。
• 通过假设弱引力场并采用度规假设$ ds^2 = -(1+2\phi)dt^2 + (1-2\phi)(dx^2+dy^2+dz^2) $，取Rastall方程的牛顿极限。
• 推导出修正的泊松方程$ \Delta\phi = 4\pi\varrho[1 + \frac{1-\alpha}{2\alpha}(1+2\phi)] $，表明当α ≠ 1时，质量密度$ \varrho $实际上依赖于引力势$ \phi $。
• 分析这一依赖于势的源项对马赫原理的含义，特别是惯性受遥远质量分布影响的观点。
• 将所得场方程与标准广义相对论进行比较，并讨论由于α ≠ 1而产生的Rastall理论中有效静质量可变的物理意义。

实验结果

研究问题

• RQ1 Rastall的修正引力理论是否满足马赫原理的关键方面，即引力源依赖于周围时空的度规或势？
• RQ2 当α从1变化时，Rastall场方程在理想流体时空下的解与广义相对论的解有何不同？
• RQ3 在牛顿极限下，Rastall方程导出的泊松方程是否表现出依赖于引力势的源项，正如马赫物理所要求的那样？
• RQ4 在弱场区域恢复标准泊松方程的要求对α的取值施加了何种约束？
• RQ5 由于源项依赖于时空几何，Rastall理论能否被视为广义相对论更具‘马赫性’的推广？

主要发现

• Rastall的场方程在真空下无论α为何值均退化为爱因斯坦方程，从而保留了广义相对论的所有标准检验。
• 当α ≠ 1时，Rastall理论在牛顿极限下的源项变为$ \varrho[1 + \frac{1-\alpha}{2\alpha}(1+2\phi)] $，表明质量密度依赖于引力势$ \phi $，这是马赫行为的显著特征。
• 修正的泊松方程$ \Delta\phi = 4\pi\varrho[1 + \frac{1-\alpha}{2\alpha}(1+2\phi)] $明确显示引力源依赖于势，暗示惯性受全局质量分布的影响。
• 为在弱场区域恢复标准泊松方程，参数α必须非常接近1，但即使α与1存在微小偏差，在如恒星内部等强场区域也可能产生显著影响。
• Rastall理论引入了一种有效静质量可变的形式，因为有效源项通过度规依赖于时空坐标，这与马赫思想中惯性由远处物质决定的观点一致。
• Rastall方程的结构（源项同时依赖于$ T_{\mu\nu} $和$ g_{\mu\nu}T $）使其比标准广义相对论更符合马赫原理，因为在标准广义相对论中，能量-动量张量的守恒独立于几何结构。