[论文解读] Rate-Distortion for Ranking with Incomplete Information

Farzad Farnoud, Moshe Schwartz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文为在 Kendall τ 和 Chebyshev 度量下的排列排序建立了率失真界限，覆盖了小、中、大失真范围，提供了紧密的解析界限。提出了一种新型的 Chebyshev 度量码构造，其渐近率匹配理论极限，相较于先前工作，在两种失真范围内均有改进，并在排列空间的覆盖码设计方面取得进展。

ABSTRACT

We study the rate-distortion relationship in the set of permutations endowed with the Kendall Tau metric and the Chebyshev metric. Our study is motivated by the application of permutation rate-distortion to the average-case and worst-case analysis of algorithms for ranking with incomplete information and approximate sorting algorithms. For the Kendall Tau metric we provide bounds for small, medium, and large distortion regimes, while for the Chebyshev metric we present bounds that are valid for all distortions and are especially accurate for small distortions. In addition, for the Chebyshev metric, we provide a construction for covering codes.

研究动机与目标

• 建模在不完全成对比较下，查询率与排序失真之间 fundamental trade-off 的算法。
• 分析在 Kendall τ 和 Chebyshev 度量下，排列空间中的最坏情况与平均情况失真。
• 为两种度量推导紧密的率失真界限，尤其在小失真与大失真范围内改进先前工作。
• 为 Chebyshev 度量构造显式覆盖码，实现渐近最优率。

提出的方法

• 使用球体打包与覆盖论证，为 Kendall τ 与 Chebyshev 度量推导非渐近率失真界限。
• 应用基于熵的界限与组合体积估计，推导给定失真下最小码字数的下界与上界。
• 提出一种基于在不相交索引集上固定相对顺序的新型码构造，以实现精确覆盖半径 d。
• 通过 σ|A 与 σ|A 定义值与位置之间的相对顺序，构造将排列限制在有界 Chebyshev 距离内的码字。
• 使用二项熵函数 H 表达构造码的渐近率，以 δ = d/n 表示。
• 证明所构造码的覆盖半径恰好为 d，且渐近匹配理论率失真界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Kendall τ 度量下，不完全信息排序的 fundamental rate-distortion trade-off 是什么？
• RQ2 Chebyshev 度量的率失真界限与 Kendall τ 度量相比如何，特别是在小失真与大失真范围？
• RQ3 能否为 Chebyshev 度量构造显式覆盖码，使其达到理论率失真极限？
• RQ4 新界限如何改进先前工作，特别是消除小失真范围内下界与上界之间的间隙？
• RQ5 所提出的覆盖码构造在 Chebyshev 度量下的渐近率是多少？

主要发现

• 对于 Kendall τ 度量，本文在小失真范围内弥合了下界与上界之间的间隙，提供了比先前工作更紧密的表征。
• 在大失真范围内，本文建立了强于先前已知的下界，提升了可实现性能的理论极限。
• 在中等失真范围内，本文提供了带有显式误差项的上下界，增强了中间失真范围内的精度。
• 对于 Chebyshev 度量，本文推导了适用于所有失真水平的界限，在小失真范围内具有高精度。
• 所提出的码构造实现了精确的覆盖半径 d，其渐近率匹配理论极限，表达式为 R = H(δ⌊1/δ⌋) + δ⌊1/δ⌋lg⌊1/δ⌋。
• 所构造码渐近匹配率失真界限，证实其在高码率范围内的最优性。