[论文解读] Rate of convergence to equilibrium of fractional driven stochastic differential equations with rough multiplicative noise

Aurélien Deya, Fabien Panloup+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用 14

一句话总结

本文研究了由 Hurst 参数 $ H \in (1/3, 1/2) $ 的粗糙分数布朗运动驱动、带乘性噪声的分数阶随机微分方程收敛至平衡态的速率。利用粗糙路径理论与李雅普诺夫函数技术，证明了收敛速率为 $ t^{-\alpha} $ 阶，与加法噪声情形一致，并通过去除噪声系数 $ \sigma $ 的梯度假设，推广了先前结果。

ABSTRACT

We investigate the problem of the rate of convergence to equilibrium for ergodic stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\\in (1/3,1)$ and multiplicative noise component $\\sigma$. When $\\sigma$ is constant and for every $H\\in (0,1)$, it was proved in [19] that, under some mean-reverting assumptions, such a process converges to its equilibrium at a rate of order $t^{-\\alpha}$ where $\\alpha \\in (0,1)$ (depending on $H$). In [11], this result has been extended to the multiplicative case when $H\ extgreater{}1/2$. In this paper, we obtain these types of results in the rough setting $H\\in (1/3,1/2)$. Once again, we retrieve the rate orders of the additive setting. Our methods also extend the multiplicative results of [11] by deleting the gradient assumption on the noise coefficient $\\sigma$. The main theorems include some existence and uniqueness results for the invariant distribution.

研究动机与目标

• 确定由 Hurst 参数 $ H \in (1/3, 1/2) $ 的分数布朗运动驱动、带乘性噪声的随机微分方程收敛至平衡态的速率。
• 将先前在 $ H > 1/2 $ 范围内关于乘性噪声情形收敛速率的研究结果推广至 $ H \in (1/3, 1/2) $ 的粗糙路径情形。
• 在不假设噪声系数 $ \sigma $ 的梯度条件前提下，建立收敛速率，从而摆脱早期工作中对该假设的依赖。
• 在均值回归漂移条件下，证明该 SDE 的不变分布存在且唯一。
• 表明在粗糙情形 $ H \in (1/3, 1/2) $ 下，收敛速率与加法情形中观测到的阶数一致。

提出的方法

• 利用粗糙路径理论处理 $ H \in (1/3, 1/2) $ 时分数布朗运动的积分，此时 Young 积分不足以适用。
• 采用李雅普诺夫函数技术控制过程返回紧集的时间，从而保证遍历性。
• 基于噪声的非退化性与均值回归漂移条件 $ \langle v, b(v) \rangle \leq C_1 - C_2 \|v\|^2 $，应用耦合论证。
• 在时间区间上使用递归划分算法，以估计粗糙路径增量 $ G^{[s,t]}_{st} $，并利用迭代积分的 $ \mathcal{C}_{3;\lambda}^{\alpha,\mu} $-范数。
• 通过 $ \mathcal{N}[\delta G; \mathcal{C}_{3;\lambda}^{\alpha,\mu}] $ 半范数建立过程在时间 $ t $ 的分布与不变测度之间总变差距离的上界。
• 结合噪声分量的路径变差估计与矩不等式，推导出 $ t^{-\alpha} $ 阶的衰减速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由 $ H \in (1/3, 1/2) $ 的分数布朗运动驱动、带乘性噪声的 SDE，其收敛至平衡态的速率是什么？
• RQ2 是否可证明在粗糙路径情形下，收敛速率与加法情形中观测到的 $ t^{-\alpha} $ 阶一致？
• RQ3 在不假设噪声系数 $ \sigma $ 的梯度条件前提下，是否仍能建立收敛速率？
• RQ4 李雅普诺夫函数与粗糙路径理论如何协同作用，以在缺乏马氏结构的条件下确保遍历性与收敛性？
• RQ5 在何种漂移 $ b $ 与噪声 $ \sigma $ 条件下，可保证该粗糙 SDE 框架中不变测度的存在性与唯一性？

主要发现

• 对于 $ H \in (1/3, 1/2) $，收敛至平衡态的速率阶为 $ t^{-\alpha} $，与加法情形中观测到的速率一致。
• 该收敛速率与 $ \sigma $ 的具体形式无关，只要漂移满足均值回归条件即可。
• 本文去除了早期工作中对 $ \sigma $ 的梯度假设，从而将乘性噪声情形的结果推广至更一般情形。
• 在均值回归漂移条件 $ \langle v, b(v) \rangle \leq C_1 - C_2 \|v\|^2 $ 下，证明了不变分布的存在性与唯一性。
• 过程在时间 $ t $ 的分布与不变测度之间的总变差距离以 $ t^{-\alpha} $ 速率衰减，其中 $ \alpha \in (0,1) $ 依赖于 $ H $。
• 分析依赖于粗糙路径理论的创新应用，以及用于控制迭代积分 $ G^{[s,t]}_{st} $ 变差的递归划分算法。