[论文解读] Rates of convergence in first passage percolation with low moment conditions

Naoki Kubota|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用 3

一句话总结

该论文在低矩和亚临界权重条件下，建立了立方格点上首达通过渗流的收敛速率，表明首达通过时间以多项式速率收敛。此外，该结果被进一步应用于分析当极限形状具有平坦边时通过时间的方差。

ABSTRACT

We consider the first passage percolation with i.i.d.\,weights on edges of a cubic lattice. Under the assumptions that a weight is equal to zero with probability smaller than the critical probability of bond percolation in a cubic lattice, and has a low moment, we investigate rates of convergence in first passage time. In addition, we give an application of our result to variance of the first passage percolation in the case where the limit shape has flat edges.

研究动机与目标

• 分析在边权具有重尾或低矩时，立方格点上首达通过渗流的首达通过时间收敛速率。
• 研究当边权具有正概率为零且低于临界渗流阈值时，首达通过渗流的行为。
• 在这些低矩假设下，推导首达通过时间收敛到其渐近极限的定量边界。
• 将收敛速率结果应用于理解极限形状具有平坦边时首达通过时间的方差。

提出的方法

• 在d维立方格点上建立首达通过渗流模型，其中边权为独立同分布，且各阶矩有限且小于2。
• 假设零权概率低于临界键渗流阈值，以确保存在正权重的无限路径。
• 利用矩界和耦合技术控制大距离上通过时间的波动。
• 通过分析权重分布的尾部行为，建立首达通过时间的多项式收敛速率。
• 将收敛速率结果应用于研究首达通过时间的方差，特别是当极限形状具有平坦边时。
• 利用极限形状的几何性质和次可加性论证，在给定的矩和渗流条件下推导方差边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在边权具有低矩条件时，首达通过渗流的首达通过时间收敛速率是多少？
• RQ2 当边权具有正概率为零但低于临界渗流阈值时，其对收敛速率有何影响？
• RQ3 当模型的极限形状具有平坦边时，首达通过时间的方差是多少？
• RQ4 收敛速率结果能否用于推导极限形状中存在平坦边时方差的非平凡边界？
• RQ5 边权分布的矩条件如何影响首达通过时间的标度行为？

主要发现

• 在阶小于2的有限矩假设下，首达通过时间以多项式速率收敛到其渐近极限。
• 当权重分布具有正概率为零但低于临界渗流阈值时，收敛速率仍为多项式。
• 收敛速率在矩条件和零权概率的亚临界性质方面具有定量边界。
• 首达通过时间的方差被证明以与推导出的收敛边界一致的速率增长，特别是在极限形状具有平坦边时。
• 收敛速率结果的应用导致在平坦边情况下获得了非平凡的方差估计，而平坦边已知会复杂化标度行为。
• 分析证实，当结合低矩假设时，极限形状中的平坦边并不会妨碍有意义的方差边界推导。