[论文解读] Rational 6-cycles under iteration of quadratic polynomials

Michael Stoll|ArXiv.org|Mar 19, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文在假设关于 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 的雅可比簇的 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想成立的前提下，给出了一个条件性证明，表明在二次多项式迭代 $x \mapsto x^2 + c$ 下，不存在有理 6-循环。通过研究动力模曲线 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 的雅可比簇，作者证明该曲线上所有有理点均为尖点，从而表明不存在非尖点的有理 6-循环解。

ABSTRACT

We present a proof, which is conditional on the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture for a specific abelian variety, that there do not exist rational numbers x and c such that x has exact period N = 6 under the iteration x |-> x^2 + c. This extends earlier results by Morton for N = 4 and by Flynn, Poonen and Schaefer for N = 5.

研究动机与目标

• 证明在 $x \mapsto x^2 + c$ 的迭代下，不存在有理 6-循环，从而将此前对 $N=4$ 和 $N=5$ 的结果推广。
• 确定参数化有理 6-循环的动力模曲线 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 上的有理点集合。
• 证明 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 上的所有有理点均为尖点，从而表明不存在非尖点的有理 6-循环解。
• 利用 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想来界定 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 的雅可比簇的 Mordell-Weil 秩，从而支持 Chabauty 类似论证。
• 证明 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 是首个在标准猜想下可显式计算有理点的非特殊（非超椭圆、非模形式、非 Shimura）且亏格 $\geq 4$ 的曲线。

提出的方法

• 通过方程 $\Phi^*_6(x,c) = 0$ 构造仿射曲线 $Y^{{\text{dyn}}}_1(6)$，该曲线参数化在 $x \mapsto x^2 + c$ 下具有精确 6 阶周期的对 $(x,c)$。
• 定义商曲线 $X^{{\text{dyn}}}_0(6) = X^{{\text{dyn}}}_1(6)/\langle\sigma\rangle$，其中 $\sigma$ 是由映射 $x \mapsto x^2 + c$ 导出的自同构，得到一个亏格为 4 的曲线。
• 通过奇点消去和牛顿多边形技术，计算 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 的光滑射影模型，得到一个平面模型 $F(u,v) = 0$。
• 在 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 上识别出十个有理点，它们生成 Mordell-Weil 群 $J(\mathbb{Q})$ 中一个秩为 3 的无 torsion 子群 $G$。
• 高精度计算 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 的雅可比簇 $J$ 的 $L$-级数（共 183,997 个系数），验证函数方程，并表明 $L^{(3)}(J,1) \neq 0$。
• 应用弱 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想：由于 $L^{(3)}(J,1) \neq 0$，$J(\mathbb{Q})$ 的秩至多为 3，从而表明 $G$ 是 $J(\mathbb{Q})$ 的有限指数子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $x \mapsto x^2 + c$ 的迭代下，是否存在有理 6-循环？
• RQ2 能否显式确定动力模曲线 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 上的有理点集合？
• RQ3 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想在多大程度上可用于界定高亏格动力曲线的雅可比簇的 Mordell-Weil 秩？
• RQ4 是否 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 上的所有有理点均为尖点，从而表明不存在非尖点的有理 6-循环？
• RQ5 本文所用方法能否推广至证明 $N > 6$ 时不存在有理 $N$-循环？

主要发现

• 在曲线 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 上的所有有理点均为尖点，意味着不存在非尖点的有理 6-循环解。
• 在 $L$-级数在 $s=1$ 处的三阶导数非零的条件下，$X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 的雅可比簇的 Mordell-Weil 群 $J(\mathbb{Q})$ 的秩至多为 3。
• 由十个易找到的有理点生成的子群 $G \subset J(\mathbb{Q})$ 的秩为 3，且在弱 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想成立的假设下，$G$ 是 $J(\mathbb{Q})$ 的有限指数子群。
• $J$ 的 $L$-级数被计算至 183,997 个系数，数值验证表明 $L^{(3)}(J,1) = 0.83601\dots \neq 0$，支持了秩的上界。
• $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 是首个在标准猜想下可显式确定有理点的非特殊（非超椭圆、非模形式、非 Shimura）且亏格 $\geq 4$ 的曲线。
• 该证明依赖于 $J$ 的 $L$-级数是整函数且满足函数方程，以及 $J$ 的弱 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想成立。