[论文解读] Rational and trigonometric degeneration of the double affine Hecke algebra of type $A$

Takeshi Suzuki|ArXiv.org|Feb 25, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文通过代数嵌入和诱导函子，建立了类型 $A_n$ 的有理谢雷德尼克代数的范畴 $Χ$ 到退化双 affine Hecke 代数（DAHA）的范畴 $Χ$ 的全忠实嵌入。关键结果是该函子保持不可约模与标准模，从而实现表示论结果的转移，包括在半单子范畴 $Χ^{ss}$ 中不可约模的分类。

ABSTRACT

We study a connection between the representation theory of the rational Cherednik algebra of type $GL_n$ and the representation theory of the degenerate double affine Hecke algebra (the degenerate DAHA). We focus on an algebra embedding from the rational Cherednik algebra to the degenerate DAHA and investigate the induction functor through this embedding. We prove that this functor embeds the category ${\mathcal O}$ for the rational Cherednik algebra fully faithfully into the category ${\mathcal O}$ for the degenerate DAHA. We also study the full subcategory ${\mathcal O}^{ss}$ of ${\mathcal O}$ consisting of those modules which are semisimple with respect to the commutative subalgebra generated by Cherednik-Dunkl operators. A classification of all irreducible modules in ${\mathcal O}^{ss}$ for the rational Cherednik algebra is obtained from the corresponding result for the degenerate DAHA.

研究动机与目标

• 建立有理谢雷德尼克代数 $\mathbf{H}_\kappa$ 与退化 DAHA $\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$（类型 $A_n$）表示理论之间的联系。
• 构造从 $\mathbf{H}_\kappa$ 到 $\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$ 的代数嵌入，使其扩展为局部化同构。
• 研究诱导函子 $\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa \otimes_{\mathbf{H}_\kappa} (-)$ 及其在范畴 $Χ$ 上的作用。
• 利用退化 DAHA 的已知结果，对有理谢雷德尼克代数的半单子范畴 $Χ^{ss}$ 中的不可约模进行分类。

提出的方法

• 构造代数嵌入 $\mathbf{H}_\kappa \to \widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$，其扩展为 $\mathbf{H}_\kappa$ 的局部化与 $\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$ 之间的同构。
• 使用诱导函子 $\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa \otimes_{\mathbf{H}_\kappa} (-)$ 将模从 $\mathbf{H}_\kappa$-mod 映射到 $\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$-mod。
• 将函子限制为将 $\mathcal{O}(\mathbf{H}_\kappa)$ 全忠实映射到 $\mathcal{O}(\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa)$，并保持标准模与不可约模。
• 将半单子范畴 $\mathcal{O}^{ss}$ 定义为在由谢雷德尼克-Dunkl 算子生成的交换子代数作用下为半单的模的范畴。
• 诱导函子将 $\mathcal{O}^{ss}(\mathbf{H}_\kappa)$ 映射到 $\mathcal{O}^{ss}(\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa)$，并利用退化 DAHA 的已知分类。
• 通过诱导函子，从 $\mathcal{O}^{ss}(\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa)$ 中的分类推导出 $\mathcal{O}^{ss}(\mathbf{H}_\kappa)$ 中不可约模的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 有理谢雷德尼克代数的表示理论如何与退化 DAHA 的表示理论相关联？
• RQ2 由代数嵌入 $\mathbf{H}_\kappa \to \widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$ 诱导的诱导函子是否保持范畴 $Χ$ 的结构？
• RQ3 能否利用退化 DAHA 在 $Χ^{ss}$ 中的不可约模分类来对有理谢雷德尼克代数的不可约模进行分类？
• RQ4 该诱导函子在 $Χ$ 中的标准模与不可约模上的行为如何？
• RQ5 不可约模在标准模的合成列中的重数在 $\mathbf{H}_\kappa$、$\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$ 以及原始双 affine Hecke 代数之间如何比较？

主要发现

• 诱导函子 $\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa \otimes_{\mathbf{H}_\kappa} (-)$ 将 $\mathcal{O}(\mathbf{H}_\kappa)$ 全忠实嵌入 $\mathcal{O}(\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa)$。
• 该函子保持标准模：它将 $\mathbf{H}_\kappa$ 的一个标准模映射为 $\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$ 的一个标准模。
• 该函子保持不可约性：它将 $\mathbf{H}_\kappa$ 的一个不可约模映射为 $\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$ 的一个不可约模。
• 不可约模在标准模的合成列中的重数在函子作用下保持不变，因此在 $\mathbf{H}_\kappa$、$\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa$ 以及原始双 affine Hecke 代数中相等。
• 子范畴 $\mathcal{O}^{ss}(\mathbf{H}_\kappa)$ 通过诱导函子被全忠实映射到 $\mathcal{O}^{ss}(\widetilde{\mathbf{H}}_\kappa)$。
• 当 $\kappa \in \mathbb{Z}_{>0}$ 时，$\mathcal{O}^{ss}(\mathbf{H}_\kappa)$ 中的不可约模与分拆 $\lambda \in \bigsqcup_{m=1}^n \Lambda^+_{\kappa}(m,n)$ 一一对应，其中 $\Lambda^+_{\kappa}(m,n) = \{\lambda \in \Lambda^+(m,n) \mid \kappa - m - \lambda_1 + \lambda_m \in \mathbb{Z}_{\geq 0}\}$。