[论文解读] Rational approximation of the absolute value function from measurements: a numerical study of recent methods

Ion Victor Gosea, Athanasios C. Antoulas|arXiv (Cornell University)|May 6, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 24被引用 9

一句话总结

本文对数据驱动的有理逼近方法——Loewner框架、AAA算法和最小最大法——在区间 [-1,1] 上对绝对值函数 |x| 进行了全面的数值比较。该研究提出了一种迭代Loewner方法，将最大误差降低至 1e-7 以下，接近理论最优逼近误差（3.05e-9），展示了仅使用函数测量值时，该方法在收敛性和自适应性方面的优越表现。

ABSTRACT

In this work, we propose an extensive numerical study on approximating the absolute value function. The methods presented in this paper compute approximants in the form of rational functions and have been proposed relatively recently, e.g., the Loewner framework and the AAA algorithm. Moreover, these methods are based on data, i.e., measurements of the original function (hence data-driven nature). We compare numerical results for these two methods with those of a recently-proposed best rational approximation method (the minimax algorithm) and with various classical bounds from the previous century. Finally, we propose an iterative extension of the Loewner framework that can be used to increase the approximation quality of the rational approximant.

研究动机与目标

• 评估并比较近期用于绝对值函数 |x| 的数据驱动有理逼近方法。
• 评估Loewner框架和AAA算法相对于经典界和最小最大法的性能表现。
• 开发并验证Loewner框架的迭代扩展，以提升逼近精度。
• 仅使用函数测量值，量化最大逼近误差，无需访问闭式表达式。
• 展示该方法在 |x| 之外的应用潜力，特别是在模型降阶中的适用性。

提出的方法

• Loewner框架通过基于柯西型插值的数据驱动插值方法，从采样数据点构建有理逼近函数。
• AAA算法通过迭代选择插值点以最小化给定区间上的最大误差，计算有理逼近函数。
• 最小最大算法通过求解非线性优化问题以最小化一致误差，计算最优有理逼近函数。
• 提出一种迭代Loewner过程，通过在最大误差位置（包括正负 x）自适应添加新的测量点，以优化逼近函数。
• 在每次迭代中，将最大误差计算为 | |x| - R(x) | 在 [-1,1] 上的上确界，并以容差 ξ = 1e-7 监控收敛性。
• 该方法采用分区策略将数据划分为左右区间，且在“相同”分区模式下使用相同的子集数据。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅能获得采样数据时，Loewner框架与AAA算法在逼近 |x| 时的表现如何比较？
• RQ2 与标准Loewner方法相比，迭代Loewner过程在降低最大逼近误差方面能达到何种程度？
• RQ3 数据驱动的有理逼近函数在多大程度上能接近 |x| 的理论最优有理逼近误差？
• RQ4 数据采样策略和数据分割方式对最终逼近质量有何影响？
• RQ5 迭代Loewner方法能否推广至系统与控制应用中其他非光滑或非有理函数？

主要发现

• 经过11次迭代，迭代Loewner过程将最大误差从初始的 1.1240e-04 降低至 9.4873e-08，低于容差 ξ = 1e-7。
• 最终的迭代Loewner逼近函数（阶数为 (47,48)）达到最大误差 9.4873e-08，接近最小最大误差 3.0517e-09。
• 最小最大方法产生了最佳逼近误差（3.0517e-09），接近Stahl的理论界 2.8211e-09。
• Loewner矩阵的奇异值迅速衰减，表明其具有良好的数值条件性，并具备低秩逼近的潜力。
• 迭代优化策略有效聚焦于高误差区域，特别是 x = 0 附近及 [-1,1] 中对称点处。
• AAA算法和标准Loewner框架表现良好，但迭代Loewner在误差降低方面显著优于二者。