[论文解读] Rational approximations for values of the digamma function and a denominators conjecture

Khodabakhsh Hessami Pilehrood, Tatiana Hessami Pilehrood|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2010

Mathematical functions and polynomials参考文献 9被引用 5

一句话总结

该论文通过超几何和与线性递推关系，为 $\text{ln}(b) - \psi(a+1)$ 构造了显式的有理逼近，推广了Aptekarev对欧拉常数的工作。它给出了分子和分母的精确公式，证明了渐近误差界为 $e^{-2\sqrt{2bn}}$ 阶，并证实了Rivoal关于 $\gamma + \text{ln}(b)$ 的分母猜想以及对 $\gamma$ 和 $\zeta(2) - \gamma^2$ 同时逼近的公共分母猜想。该方法还得到了 $\pi/2 \pm \gamma$ 的类似精度逼近。

ABSTRACT

In 2007, A.I.Aptekarev and his collaborators discovered a sequence of rational approximations to Euler's constant $γ$ defined by a linear recurrence. In this paper, we generalize this result and present an explicit construction of rational approximations for the numbers $\ln(b)-ψ(a+1),$ $a, b\in {\mathbb Q},$ $b>0, a>-1,$ where $ψ$ defines the logarithmic derivative of the Euler gamma function. We prove exact formulas for denominators and numerators of the approximations in terms of hypergeometric sums. As a consequence, we get rational approximations for the numbers $π/2\pmγ.$ We compare the results obtained with those of T. Rivoal for the numbers $γ+\ln(b)$ and prove denominators conjectures proposed by Rivoal for denominators of rational approximations for $γ+\ln(b)$ and common denominators of simultaneous approximations for the numbers $γ$ and $ζ(2)-γ^2.$

研究动机与目标

• 将Aptekarev对欧拉常数 $\gamma$ 的有理逼近推广到更广的类 $\ln b - \psi(a+1)$，其中 $a > -1$ 为有理数，$b > 0$。
• 利用超几何和与组合恒等式，推导出这些逼近的分子和分母的精确闭式表达。
• 证明渐近误差界的形式为 $\frac{p_n}{q_n} - (\ln b - \psi(a+1)) = O(e^{-2\sqrt{2bn}})$，当 $n \to \infty$ 时成立。
• 证实Rivoal关于 $\gamma + \ln b$ 的逼近分母的猜想，以及对 $\gamma$ 和 $\zeta(2) - \gamma^2$ 同时逼近的公共分母猜想。
• 利用一般框架构造 $\pi/2 \pm \gamma$ 等特殊值的显式逼近。

提出的方法

• 通过微分算子作用于 $x^n(x^{n+a}(1-x)^{2n+1}e^{-bx})^{(n)}$，定义有理函数序列 $Q_n^{(a,b)}(x)$，确保其在 $[0,1]$ 和 $[1,\infty)$ 上正交于单项式。
• 将逼近式 $p_n/q_n$ 构造为加权于 $x^a(1-x)e^{-bx}$ 和 $x^a(1-x)e^{-bx}\ln x$ 的 $Q_n^{(a,b)}(x)$ 的矩，从而得到 $p_n$ 和 $q_n$ 的精确公式。
• 将 $q_n$ 表示为 $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 (a+1)_{n+k} b^{n-k}$，其为具有整数系数的 $a$ 和 $b$ 的多项式。
• 将 $p_n$ 表示为包含调和数 $H_{n+k}(a)$ 的和，以及一个带交替符号和二项式系数的三重和，其属于 $\frac{1}{D_n}\mathbb{Z}[a,b]$。
• 通过超几何和的渐近分析，推导出主导行为：$q_n \sim (2n)! \frac{e^{\sqrt{2bn}}}{n^{1/4 - a}} c(a,b)$ 且 $p_n - q_n(\ln b - \psi(a+1)) \sim (2n)! \frac{-e^{\sqrt{2bn}}}{n^{1/4 - a}} 2\pi c(a,b)$。
• 将该方法应用于特殊情况：$a=0, b=1$ 时对应 $\gamma$；$a=0, b\in\mathbb{Q}$ 时对应 $\gamma + \ln b$；$b=1/8, a=-3/4$ 时对应 $\pi/2 + \gamma$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $\ln b - \psi(a+1)$ 构造出具有显式闭式表达的分子和分母的有理逼近？
• RQ2 这些逼近的渐近误差率是什么？能否用 $n$ 和参数 $a,b$ 表示？
• RQ3 对 $\gamma + \ln b$ 的逼近的分母是否与Rivoal的猜想形式 $\frac{n!}{D_n}$ 一致？
• RQ4 该方法能否扩展至使用公共分母同时逼近 $\gamma$ 和 $\zeta(2) - \gamma^2$？
• RQ5 对 $\pi/2 \pm \gamma$ 的逼近是什么？其收敛速率如何？

主要发现

• 分母 $q_n$ 为 $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 (a+1)_{n+k} b^{n-k} \in \mathbb{Z}[a,b]$，而分子 $p_n$ 属于 $\frac{1}{D_n}\mathbb{Z}[a,b]$。
• 当 $a=0, b=1$ 时，逼近式满足递推关系：$(16n-15)q_{n+1} = (128n^3 + 40n^2 - 82n - 45)q_n - n^2(256n^3 - 240n^2 + 64n - 7)q_{n-1} + n^2(n-1)^2(16n+1)q_{n-2}$。
• 对于 $\gamma$，渐近误差为 $\left| \frac{p_n}{q_n} - \gamma \right| = 2\pi e^{-2\sqrt{2n}}(1 + O(n^{-1/2}))$，当 $n \to \infty$ 时成立。
• 对于 $\gamma + \ln b$，误差为 $\left| \frac{p_n}{q_n} - (\gamma + \ln b) \right| = 2\pi e^{-2\sqrt{2bn}}(1 + O(n^{-1/2}))$。
• 对于 $\pi/2 + \gamma$，当 $a = -3/4, b = 1/8$ 时，误差为 $\left| \frac{p_n}{q_n} - \left(\gamma + \frac{\pi}{2}\right) \right| = 2\pi e^{-\sqrt{n}}(1 + O(n^{-1/2}))$。
• 该方法证实了Rivoal的猜想：$\gamma + \ln b$ 的逼近分母属于 $\frac{n!}{D_n}\mathbb{Z}[b]$，且 $\gamma$ 与 $\zeta(2) - \gamma^2$ 的公共分母属于 $\frac{1}{(n+1)^3 n!^2 D_n^2}\mathbb{Z}$。