[论文解读] Rational Cherednik algebras and Hilbert schemes II: representations and sheaves

Iain J. Gordon, J. T. Stafford|ArXiv.org|Oct 12, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过一个 $Δ$-函子构造，建立了有理 Cherednik 代数与平面点的 Hilbert 算符之间的深层联系，该构造将球对称 Cherednik 代数 $U_c$ 上的滤子模与 $̅{Hilb}(n)$ 上的凝聚层相关联。证明了当 $c = 1/n$ 时，平凡模所关联的层即为点状 Hilbert 算符的结构层，并证实了 Berest-Etingof-Ginzburg 关于有限维模的双分次结构与 Hilbert 算符上线丛上同调匹配的猜想。

ABSTRACT

Let H_c be the rational Cherednik algebra of type A_{n-1} with spherical subalgebra U_c=eH_ce. Then U_c is filtered by order of differential operators with associated graded ring gr U_c=C[h + h*]^W, where W is the n-th symmetric group. Using the Z-algebra construction from our earlier paper (math.RA/0407516) it is also possible to associate to a filtered H_c- or U_c-module M a coherent sheaf on the Hilbert scheme Hilb(n). Using this technique, we study the representation theory of U_c and H_c, and relate it to Hilb(n) and to the resolution of singularities from Hilb(n) to h+h*/W. For example, we prove: (1) If c=1/n, so that L_c(triv) is the unique one-dimensional simple H_c-module, then L_c(triv) corresponds to the structure sheaf of the punctual Hilbert scheme. (2) If c=1/n+k (for k some natural number) then, under a canonical filtration on the finite dimensional module L_c(triv), gr eL_{c}(triv) has a natural bigraded structure which coincides with that on the global sections of certain ample line bundles on the punctual Hilbert scheme; this confirms conjectures of Berest, Etingof and Ginzburg, and relates representations of H_c and U_c with Haiman's combinatorial work on the Hilbert scheme. (3) Under mild restrictions on c, the characteristic cycle of the standard H_c-modules are described in terms of certain irreducible subvarieties of the Hilbert scheme (appearing originally in work of Grojnowski) with multiplicities given by Kostka numbers.

研究动机与目标

• 建立球对称 Cherednik 代数 $U_c$ 上的滤子模与 Hilbert 算符 $\operatorname{Hilb}(n)$ 上的凝聚层之间的函子对应关系。
• 将 $H_c$ 和 $U_c$ 的表示理论与 $\operatorname{Hilb}(n)$ 的几何不变量相关联，特别是其奇点的解析 $\tau: \operatorname{Hilb}(n) \to \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^* / W$。
• 验证 Berest、Etingof 和 Ginzburg 关于 $\operatorname{gr} eL_c(\operatorname{triv})$ 的双分次结构在 $c = 1/n + k$ 时与 $H^0(\operatorname{Z}_n, \mathcal{L}^k)$ 匹配的猜想。
• 计算与标准模相关联的层的特征循环，并将其与 Kostka 数及 $\tau^{-1}(0)$ 的不可约分支相关联。

提出的方法

• 利用 [GS] 中的 $\mathbb{Z}$-代数构造，将 $U_c$ 关联到一个滤子 $\mathbb{Z}$-代数 $B$，满足 $\operatorname{gr} B \cong \bigoplus_{k \geq 0} H^0(\operatorname{Hilb}(n), \mathcal{L}^k)$。
• 通过 $eH_c \otimes_{H_c} N$ 上的张量积滤子，为任意滤子 $H_c$-模 $N$ 构造 $\operatorname{Hilb}(n)$ 上的层 $\widehat{\Phi}(N)$。
• 对 $\mathbb{Z}$-代数模应用伴随的分次函子，得到一个 $\operatorname{gr} B$-模，该模对应于 $\operatorname{Hilb}(n)$ 上的凝聚层。
• 利用 $H_c$ 与 $U_c$ 之间通过幂等元 $e$ 的 Morita 等价性，使该函子可定义在 $U_c$-模上。
• 利用由欧拉算子 $\mathbf{E}$ 和 $W$-作用诱导的 $\operatorname{gr} U_c$ 上的双分次，分析 $\operatorname{gr} eL_c(\operatorname{triv})$ 的结构。
• 应用 Conze 嵌入和对 $D(\mathfrak{h}/W)$ 的分析，证明 $D(\mathfrak{h}/W)$ 是 $U_c$ 上的平坦左模，支持其几何解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将球对称 Cherednik 代数 $U_c$ 上的滤子模与 Hilbert 算符 $\operatorname{Hilb}(n)$ 上的凝聚层相关联？
• RQ2 当 $c = 1/n$ 时，$\operatorname{gr} eL_c(\operatorname{triv})$ 的几何解释是什么？
• RQ3 当 $c = 1/n + k$ 时，$\operatorname{gr} eL_c(\operatorname{triv})$ 的双分次结构是否与 Berest、Etingof 和 Ginzburg 的猜想一致，即匹配 $H^0(\operatorname{Z}_n, \mathcal{L}^k)$？
• RQ4 层 $\widehat{\Phi}(e\Delta_c(\mu))$ 的特征循环能否用 Kostka 数与 $\tau^{-1}(\mathfrak{h}/W)$ 的不可约分支表示？
• RQ5 $\mathbb{Z}$-代数 $B$ 在将 $U_c$-模实现为 $\operatorname{Hilb}(n)$ 上的层时起什么作用？其分次结构如何反映 Hilbert 算符的几何性质？

主要发现

• 当 $c = 1/n$ 时，层 $\widehat{\Phi}(eL_c(\operatorname{triv}))$ 同构于 $\mathcal{O}_{\operatorname{Z}_n}$，即点状 Hilbert 算符 $\operatorname{Z}_n = \tau^{-1}(0)$ 的结构层。
• 当 $c = 1/n + k$ 且 $k \in \mathbb{N}$ 时，关联的分次模 $\operatorname{gr} eL_c(\operatorname{triv})$ 拥有自然的双分次，其结构与 $H^0(\operatorname{Z}_n, \mathcal{L}^k)$ 的双分次一致，证实了 Berest、Etingof 和 Ginzburg 的猜想。
• 在 $c$ 的弱条件下，层 $\widehat{\Phi}(e\Delta_c(\mu))$ 的特征循环为 $\sum_{\lambda} K_{\mu\lambda} [Z_\lambda]$，其中 $K_{\mu\lambda}$ 为 Kostka 数，$Z_\lambda$ 为 $\tau^{-1}(\mathfrak{h}/W)$ 的不可约分支。
• $D(\mathfrak{h}/W)$ 是 $U_c$ 上的平坦左模，通过 Conze 嵌入和 $\operatorname{gr} D(\mathfrak{h}/W)$ 上的双分次论证得以证明。
• $\mathbb{Z}$-代数 $B$ 提供了 $\operatorname{Hilb}(n)$ 的齐次坐标环的非交换形变，满足 $\operatorname{gr} B \cong \bigoplus_{k \geq 0} H^0(\operatorname{Hilb}(n), \mathcal{L}^k)$。
• 通过 $eH_c \otimes_{H_c} N$ 上的张量积滤子构造 $\widehat{\Phi}$，得到一个从滤子 $H_c$-模到 $\operatorname{Hilb}(n)$ 上凝聚层的良定义函子，且与 Morita 等价相容。