[论文解读] Rational Cherednik algebras of $G(\ell,p,n)$ from the Coulomb perspective

Elise LePage, Ben Webster|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文为非本原复反射群 $G(\ell,p,n)$ 的有理 Cherednik 代数建立了规范分支的解释，证明其球对称子代数可作为具有弦缺陷的 3D $\mathcal{N}=4$ 规范理论中的规范分支。此外，本文证明该球对称代数为一个主伽罗瓦序，构造了一个具有对偶典范基性质的范畴 $\mathcal{O}$ 的分次提升，并对 $G(\ell,p,n)$ 的简单 Dunkl-Opdam 模进行分类，通过 Clifford 理论与几何表示理论将 $G(\ell,1,n)$ 情况下的结果推广至更一般情形。

ABSTRACT

We prove a number of results on the structure and representation theory of the rational Cherednik algebra of the imprimitive reflection group $G(\ell,p,n)$. In particular, we: (1) show a relationship to the Coulomb branch construction of Braverman, Finkelberg and Nakajima, and 3-dimensional quantum field theory; (2) show that the spherical Cherednik algebra carries the structure of a principal Galois order; (3) construct a graded lift of category $\mathcal{O}$ and the larger category of Dunkl-Opdam modules, whose simple modules have the properties of a dual canonical basis and (4) give the first classification of simple Dunkl-Opdam modules for the rational Cherednik algebra of the imprimitive reflection group $G(\ell,p,n)$.

研究动机与目标

• 将有理 Cherednik 代数的表示理论从 $G(\ell,1,n)$ 扩展至 $p \mid \ell$ 的非本原群 $G(\ell,p,n)$。
• 在具有弦缺陷的 3D $\mathcal{N}=4$ 规范理论中，建立 $G(\ell,p,n)$ 的球对称 Cherednik 代数作为规范分支的物理实现。
• 证明 $G(\ell,p,n)$ 的球对称 Cherednik 代数为一个主伽罗瓦序。
• 为范畴 $\mathcal{O}$ 及更大的 Dunkl-Opdam 模范畴构造一个分次提升，并使其具备对偶典范基性质。
• 首次对 $G(\ell,p,n)$ 的有理 Cherednik 代数的简单 Dunkl-Opdam 模进行分类。

提出的方法

• 利用 Braverman、Finkelberg 和 Nakajima 的规范分支构造，将球对称 Cherednik 代数解释为具有 3D $\mathcal{N}=4$ 超对称规范理论中弦缺陷的规范分支。
• 应用 Clifford 理论，将 $G(\ell,1,n)$ 的结果推广至 $G(\ell,p,n)$，尤其在 Dunkl-Opdam 模的分类方面。
• 利用仿射 Grassmannian 及 $G((t))$-丛模空间的几何结构，计算同调群，并将球对称代数识别为不同弦算符之间同调群的直和。
• 通过 $t^{\ell/p}(\ell)$ 在商空间 $V[[t]]/G[[t]]$ 上的作用，定义一个自同态，从而诱导出 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-作用，使定理 5.5 中的同构得以构造。
• 应用主伽罗瓦序理论，证明球对称 Cherednik 代数 $H^{\text{sph}}_p$ 为一个主伽罗瓦序，推广了 $G(\ell,1,n)$ 情况下的结果。
• 利用具备混合性与 Koszul 性的范畴 $\mathcal{O}$ 的分次提升，将分解数解释为典范基的系数，从而将此结构推广至 $G(\ell,p,n)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 球对称 Cherednik 代数 $H^{\text{sph}}_p$ 如何作为具有弦缺陷的 3D $\mathcal{N}=4$ 规范理论中的规范分支出现？
• RQ2 $H^{\text{sph}}_p$ 是否为一个主伽罗瓦序？其与 $G(\ell,1,n)$ 情况的推广关系如何？
• RQ3 能否为 $G(\ell,p,n)$ 构造范畴 $\mathcal{O}$ 与 Dunkl-Opdam 模范畴的分次提升，并使其具备对偶典范基性质？
• RQ4 有理 Cherednik 代数 $G(\ell,p,n)$ 的简单 Dunkl-Opdam 模的分类是什么？
• RQ5 同调群 $\operatorname{Ext}^\bullet_\hbar(\mathfrak{p}_k, \mathfrak{p}_m)$ 如何实现球对称 Cherednik 代数 $H^{\text{sph}}_p$ 为同调群的直和？

主要发现

• $G(\ell,p,n)$ 的球对称 Cherednik 代数 $H^{\text{sph}}_p$ 被实现为具有非平凡弦缺陷的 3D $\mathcal{N}=4$ 规范理论的规范分支，推广了 $G(\ell,1,n)$ 的情形。
• $H^{\text{sph}}_p$ 为一个主伽罗瓦序，推广了 $G(\ell,1,n)$ 情况下的结果。
• 为 $G(\ell,p,n)$ 构造了范畴 $\mathcal{O}$ 与 Dunkl-Opdam 模范畴的分次提升，其单模表现出对偶典范基性质。
• 由于分次提升具备混合性与 Koszul 性，$G(\ell,p,n)$ 的范畴 $\mathcal{O}$ 中的分解数可被解释为典范基的系数。
• 通过 Clifford 理论，首次实现了对 $G(\ell,p,n)$ 的有理 Cherednik 代数的简单 Dunkl-Opdam 模的分类，推广了 Suzuki 与 Rouquier 等人的结果。
• 同调群 $\operatorname{Ext}^\bullet_\hbar(\mathfrak{p}_k, \mathfrak{p}_m)$ 同构于 $H^{\text{sph}}_p$ 的 $m-k$-分次部分，且整个代数同构于 $\bigoplus_{i=0}^{p-1} \operatorname{Ext}^\bullet_\hbar(\mathfrak{p}_0, \mathfrak{p}_i)$，其乘法由上拉后的复合给出。