[论文解读] Rational families of vector bundles on curves, I

Ana-Maria Castravet|ArXiv.org|Feb 12, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文研究了在亏格 g ≥ 2 的曲线 C 上，固定度为 1 的秩 2 稳定向量丛模空间 M 上的有理曲线。通过线丛与层的扩张，识别出有理曲线度数为 k 的空间中的两个不可约分支：'良好'分支（当 k 较大时，一般曲线为非常自由）与'几乎良好'分支（一般曲线为自由，且具有特定的切丛分裂）。这两个分支的最大有理连通纤维化均为雅可比簇 J(C)。

ABSTRACT

Let C be a smooth complex projective curve of genus at least 2 and let M be the moduli space of rank 2, stable vector bundles on C, with fixed determinant of degree 1. For any k>1, we find two irreducible components of the space of rational curves of degree k on M. One component, which we call the nice component has the property that the general element is a very free curve if k is sufficiently large. The other component has the general element a free curve. Both components have the expected dimension and their maximal rationally connected fibration is the Jacobian of the curve C.

研究动机与目标

• 对在亏格 g ≥ 2 的曲线 C 上，固定度为 1 的秩 2 稳定向量丛模空间 M 上的度数为 k 的有理曲线空间的不可约分支进行分类。
• 确定这些分支的维数及其几何性质（例如，自由性、非常自由性）。
• 确定每个分支的最大有理连通（MRC）纤维化，并证明其为雅可比簇 J(C)。
• 建立当 k 较大时，'良好'分支中的一般曲线为非常自由，表明该分支具有强有理连通性。

提出的方法

• 通过线丛的扩张构造有理曲线：当 k 为奇数，即 k = 2e + 1 时，使用扩张 0 → L → E → L⁻¹⊗ξ → 0，其中 deg(L) = -e。
• 当 k 为偶数时，使用扩张 0 → E → E′ → O_D → 0，其中 D ∈ Sym^e(C)，且 E 满足 det(ξ(-D))。
• 分析从射影空间 P(V_L) 或 P(V_{D,E}) 到 M 的相关有理映射，表明其在余维数 ≥2 的子集外有定义。
• 应用变形理论与基点自由铅笔技巧，证明行列式映射的满射性，从而确保所需有理曲线的存在。
• 利用 H¹(L⊗M⁻¹(-p)) = 0 的事实（对精心选取的线丛成立），以确保偶数度情形下行列式映射的满射性。
• 通过退化与性质的开性，将直和线丛的变形推广至稳定丛，从而证明一般情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在模空间 M 上，有理曲线度数为 k 的空间 Hom_k(P¹, M) 的不可约分支是什么？
• RQ2 这些分支的维数是多少？它们是否具有预期维数 2k + 3g - 3？
• RQ3 在何种条件下，每个分支中的一般有理曲线是自由或非常自由的？
• RQ4 每个分支的最大有理连通（MRC）纤维化是什么？
• RQ5 曲线 C 的几何结构，特别是其雅可比簇 J(C)，如何与 M 上有理曲线的结构相关联？

主要发现

• 对任意 k ≥ 1，存在 Hom_k(P¹, M) 的一个不可约分支 M，其维数为预期的 2k + 3g - 3，且在一般点处无障碍。
• '良好'分支 M 的 MRC 纤维化是一个有理映射 M ⇢ J(C)，当且仅当 g = 2 且 k = 2 时例外，其余情况均为满射。
• 当 k 较大时，'良好'分支中的一般有理曲线为非常自由，表明该分支具有强有理连通性。
• '几乎良好'分支由映射 f: P¹ → M 构成，其为 M 上一条直线的 k 对 1 映射，且满足 f*TM ≅ O^g ⊕ A，其中 A 为 P¹ 上的正丛。
• 在亏格 2 情形下，M 是 P⁵ 中两个二次曲面的完全交，且对所有 k ≥ 1，两个分支均存在，且其 MRC 纤维化均映射至 J(C)。
• 通过从奇数度自由曲线变形得到的 reducible 曲线，将偶数度 '良好' 分支中非常自由性的界限改进至超过初始的 6g - 6。