[论文解读] Rational Fibrations of $\bar{M}_{5,1}$ and $\bar{M}_{6,1}$

David Jensen|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通过利用 del Pezzo 曲面和切触超平面的几何构造，从模空间 $\overline{M}_{5,1}$ 和 $\overline{M}_{6,1}$ 构造了到低维有标记有理曲线模空间的有理纤维化。关键结果是，Weierstrass 面 $BN^{1}_{5,(0,5)}$ 和 $\overline{M}_{6,1}$ 上的新面 $D_6$ 生成有效锥中的极小射线，通过有理映射而非双有理收缩提供了极小面的新例子。

ABSTRACT

This is the second of two papers on the birational geometry of $\bar{M}_{g,1}$. We construct rational maps from $\bar{M}_{5,1}$ and $\bar{M}_{6,1}$ to lower-dimensional moduli spaces. As a consequence, we identify geometric divisors that generate extremal rays of the effective cones for these spaces.

研究动机与目标

• 从 $\overline{M}_{5,1}$ 和 $\overline{M}_{6,1}$ 构造到更简单模空间的有理映射，克服了无法映射到低维代数簇的障碍。
• 在 $\overline{M}_{5,1}$ 和 $\overline{M}_{6,1}$ 中识别出生成有效锥 $\overline{NE}^1$ 中极小射线的几何面。
• 通过利用 del Pezzo 曲面和切触超平面等几何结构诱导的有理映射，将对极小射线的理解从双有理收缩扩展至更广范围。
• 提供一种新的几何机制——通过有理映射下边界面的拉回——以检测曲线模空间有效锥中的极小射线。

提出的方法

• 对于 $\overline{M}_{5,1}$，通过利用亏格 5 曲线在 $\mathbb{P}^4$ 中的 canonical 嵌入作为三个二次曲面的完全交，构造有理映射 $\phi_5$，并分析切触超平面与相关 del Pezzo 曲面的交点。
• 在标记点处对 del Pezzo 曲面进行第一次爆破，然后在严格提升的交点处再次爆破，得到一个带有四个标记点的 $\mathbb{P}^1$，从而诱导出到 $\overline{M}_{0,4}$ 的映射。
• 对于 $\overline{M}_{6,1}$，利用一般亏格 6 曲线可嵌入为光滑五次 del Pezzo 曲面 $Y$ 上的 $|-2K_Y|$ 截面的事实，通过忽略曲线而仅保留标记点，定义有理映射 $\phi_6$，映射到 $Y/S_5 \cong \widetilde{M}_{0,5}$。
• 分析 pointed Brill-Noether 面在 $\phi_5$ 和 $\phi_6$ 下的像，表明它们位于 $\overline{M}_{0,4}$ 和 $\overline{M}_{0,5}$ 上边界面的拉回之中。
• 利用如下事实：若两个面在有理映射下映到同一点，且其中一个不是另一个的倍数，则根据命题 2.3，二者均在 $\overline{NE}^1$ 中生成极小射线。
• 利用数值等价性和已知的面关系（例如 $BN^{1}_{4,(0,3)} = BN^{1}_{5,(0,5)} + BN^{1}_{3}$）排除线性等价性，从而确认极小性。

实验结果

研究问题

• RQ1 从 $\overline{M}_{g,1}$ 到有理曲线模空间的有理纤维化能否揭示有效锥中的极小射线？
• RQ2 $BN^{1}_{5,(0,5)}$ 面是否在 $\overline{NE}^1(\overline{M}_{5,1})$ 中生成极小射线？
• RQ3 是否存在一个在 $\overline{M}_{6,1}$ 上的几何面，其非 pointed Brill-Noether 类型，但生成极小射线？
• RQ4 通过有理映射下边界面的拉回能否检测 $\overline{M}_{g,1}$ 有效锥中的极小射线？

主要发现

• Weierstrass 面 $BN^{1}_{5,(0,5)}$ 在 $\overline{NE}^1(\overline{M}_{5,1})$ 中生成极小射线，因为其在 $\phi_5$ 下的像包含于 $\overline{M}_{0,4}$ 上某点的拉回之中。
• pointed Brill-Noether 面 $BN^{1}_{4,(0,3)}$ 是 $\overline{M}_{0,4}$ 上一个 ample 面的拉回，这意味着它生成极小射线。
• $\overline{M}_{6,1}$ 上的面 $D_6$（定义为具有一个 $g^2_6$ 和一个在标记点处有挠的 $g^1_4$ 的曲线的闭包）在 $\overline{NE}^1(\overline{M}_{6,1})$ 中生成极小射线。
• $BN^{2}_{6,(0,2,4)}$ 面在数值上等价于 $BN^{1}_{4,(0,3)}$ 的倍数，因为它不能线性等价于 $BN^{1}_{5,(0,5)}$ 或 $BN^{1}_{3}$，因为后者是非移动的。
• 有理映射 $\phi_5: \overline{M}_{5,1} \dashrightarrow \overline{M}_{0,4}$ 通过与曲线和标记点相关的 del Pezzo 曲面的爆破构造而成，从而实现了模空间的几何参数化。
• 有理映射 $\phi_6: \overline{M}_{6,1} \dashrightarrow \widetilde{M}_{0,5}$ 源于亏格 6 曲线在五次 del Pezzo 曲面上的唯一嵌入，其中标记点决定了像点。