[论文解读] Rational functions with identical measure of maximal entropy

Hexi Ye|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文研究了何时两个有理函数共享相同的最大熵测度（MME），表明对于一般有理映射（度数 $ d \geq 3 $），相同的 MME 意味着映射共享一个迭代（$ f^n = g^m $）。对于度数 2 的情况，存在一个对称 $ \sigma_f $，使得 $ \sigma_f \circ f^n $ 也共享 MME。本文构造了显式例子，其中 $ f^n \neq \sigma \circ g^m $，证明在有理函数情形下，MME 条件中的多项式型关系并不总是成立。

ABSTRACT

We discuss when two rational functions $f$ and $g$ can have the same measure of maximal entropy. The polynomial case was completed by (Beardon, Levin, Baker-Eremenko,Schmidt-Steinmetz, etc., 1980s-90s), and we address the rational case following Levin-Przytycki (1997). We show: $μ_f = μ_g$ implies that $f$ and $g$ share an iterate ($f^n = g^m$ for some $n$ and $m$) for general $f$ with degree $d \geq 3$. And for generic $f\in \Rat_{d\geq 3}$, $μ_f = μ_g$ implies $g=f^n$ for some $n \geq 1$. For generic $f\in \Rat_2$, $μ_f = μ_g$ implies that $g= f^n$ or $σ_f\circ f^n$ for some $n\geq 1$, where $σ_f\in PSL_2(\C)$ permutes two points in each fiber of $f$. Finally, we construct examples of $f$ and $g$ with $μ_f = μ_g$ such that $f^n eq σ\circ g^m$ for any $σ\in PSL_2(\C)$ and $m,n\geq 1$.

研究动机与目标

• 确定两个有理函数 $ f $ 和 $ g $ 何时具有相同的最大熵测度（MME）。
• 将已知的多项式结果（即相同的 MME 意味着 Julia 集相等与迭代等价）推广至有理函数情形。
• 刻画对于一般 $ f \in \mathrm{Rat}_d $，所有共享 $ \mu_f $ 的有理函数构成的集合 $ M_f $ 的结构。
• 构造非例外有理函数的显式例子，其具有相同的 MME，但彼此之间不存在迭代关系或 M\
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提出的方法

• 使用在 Julia 集 $ J_f $ 上唯一不变的概率测度 $ \mu_f $，其熵达到最大值 $ \log d_f $。
• 应用临界值及其重数的理论，特别关注度数 $ d \geq 3 $ 情形下的单重临界值。
• 利用度数 2 映射存在唯一 M\
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实验结果

研究问题

• RQ1 何时两个有理函数 $ f $ 和 $ g $ 具有相同的最大熵测度？
• RQ2 条件 $ \mu_f = \mu_g $ 是否等价于存在某个 M\
• RQ3 key_findings

主要发现

• 对于一般 $ f \in \mathrm{Rat}_d $ 且 $ d \geq 3 $，有 $ \mu_f = \mu_g $ 当且仅当存在 $ n, m \geq 1 $ 使得 $ f^n = g^m $，即 $ M_f = \{ f^n \}_{n \geq 1} $。
• 对于一般 $ f \in \mathrm{Rat}_2 $，有 $ \mu_f = \mu_g $ 当且仅当 $ g = f^n $ 或 $ g = \sigma_f \circ f^n $ 对某个 $ n \geq 1 $ 成立，其中 $ \sigma_f $ 是置换纤维的 M\
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