[论文解读] Rational Homotopy Calculus of Functors

Ben Walter|ArXiv.org|Mar 14, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文为微分分次代数与余代数范畴构建了理性同伦范畴上的函子同伦微积分，采用显式且计算简单的同伦上积与下积模型。它建立了具有齐次层的理性泰勒塔，且这些层通过理性谱范畴，证明了从DGL、DGC与DG范畴之间的稳定化函子自然由这些模型诱导，从而实现了理性泰勒塔的有效计算。

ABSTRACT

This is a (slightly edited) version of the PhD dissertation of the author, submitted to Brown University in July 2005. We construct a homotopy calculus of functors in the sense of Goodwillie for the categories of rational homotopy theory. More precisely, given a homotopy functor between any of the categories of differential graded vector spaces (DG), reduced differential graded vector spaces, differential graded Lie algebras (DGL), and differential graded coalgebras (DGC), we show that there is an associated approximating "rational Taylor tower" of excisive functors. The fibers in this tower are homogeneous functors which factor as homogeneous endomorphisms of the category of differential graded vector spaces. Furthermore, we develop very straightforward and simple models for all of the objects in this tower. Constructing these models entails first building very simple models for homotopy pushouts and pullbacks in the categories DG, DGL, and DGC. We end with a short example of the usefulness of our computationally simple models for rational Taylor towers, as well as a preview of some further results dealing with the structure of rational (and non-rational) Taylor towers.

研究动机与目标

• 在理性同伦理论背景下，发展一种计算上可行的函子同伦微积分。
• 为DG、DGL与DGC范畴中的同伦上积与下积构造显式且简单的模型。
• 证明DGL与DGC范畴的稳定化通过自然稳定化函子映射到同一理性谱范畴。
• 展示这些模型如何简化同伦函子的理性泰勒塔的计算。
• 为将理性微积分推广至非理性与拓扑设定奠定基础工具。

提出的方法

• 在理性同伦范畴中，使用同伦函子的可裂逼近构造理性泰勒塔。
• 在DG、DGL与DGC范畴中，使用非常简单的同伦上积与下积模型，构建显式逼近。
• 定义从DGL、DGC与DG之间的稳定化函子Σ∞与Ω∞，它们虽非典范，但自然源自这些模型。
• 证明泰勒塔的纤维是通过理性谱范畴的齐次函子。
• 建立DG范畴与DGL及DGC范畴的稳定化等价，从而实现统一的理性谱框架。
• 使用立方体模型与总同伦纤维，从其齐次层与结构映射重构初始函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在理性同伦理论中，利用计算简单的模型，有效构建函子同伦微积分？
• RQ2 DGL与DGC范畴的稳定化与理性谱范畴之间的确切关系是什么？
• RQ3 在DGL与DGC范畴中，同伦上积与下积模型如何自然地导出稳定化与无限循环函子？
• RQ4 能否使用具有对称群作用的谱显式描述理性泰勒塔的齐次层？
• RQ5 喷射构造中结构映射与零同伦如何对谱值的n-可裂函子进行分类？

主要发现

• 本文使用DG、DGL与DGC范畴中同伦极限与余极限的显式简单模型，为同伦函子构建了理性泰勒塔。
• DG、DGL与DGC范畴中的同伦上积与下积被建模为自然诱导悬停与环面函子的形式，从而导出至理性谱范畴的稳定化函子。
• 证明了理性谱范畴与DGL及DGC范畴的稳定化等价，为理性同伦理论提供了统一框架。
• 泰勒塔的纤维是通过理性谱范畴的齐次函子，其结构映射由谱之间的等变映射给出。
• 通过喷射构造，对谱值的n-可裂函子实现分类，其系数为谱，且结构映射满足一致的零同伦系统。
• 立方体模型的总同伦纤维可重构原始函子至弱等价，为理性泰勒塔的计算提供了有效工具。