[论文解读] Rational homotopy theory of mapping spaces via Lie theory for L-infinity algebras

Alexander Berglund|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 12

一句话总结

本文通过计算与幂零 $L_\infty$-代数相关的 Deligne-Getzler ∞-群胚的高阶同伦群，建立了一套用于映射空间有理同伦论的李理论框架。关键结果是将扭曲 $L_\infty$-代数的同调与 ∞-群胚的同伦群之间建立了显式同构，从而通过 $L_\infty$-模型的张量积、扭变和截断，为映射空间的连通分支构造了 Sullivan 模型。

ABSTRACT

We calculate the higher homotopy groups of the Deligne-Getzler infinity-groupoid associated to a nilpotent L-infinity algebra. As an application, we present a new approach to the rational homotopy theory of mapping spaces.

研究动机与目标

• 通过 $L_\infty$-代数发展一种用于映射空间有理同伦论的李理论方法。
• 计算与幂零 $L_\infty$-代数相关的 Deligne-Getzler $\infty$-群胚的高阶同伦群。
• 通过 Mauer-Cartan 模空间与同调同构，刻画诱导 ∞-群胚等价的 $L_\infty$-同态。
• 将 Deligne-Getzler $\infty$-群胚构造推广至完备 $L_\infty$-代数，并在该设定下推广主要结果。
• 为有理同伦论中映射空间的连通分支提供显式、可计算的 $L_\infty$-代数模型。

提出的方法

• 本文使用与幂零 $L_\infty$-代数 $\mathfrak{g}$ 关联的 Deligne-Getzler $\infty$-群胚构造 $\gamma_\bullet(\mathfrak{g})$，该构造推广了微分分次李代数的 Deligne 群胚。
• 通过显式同构 $B: \mathrm{H}_n(\mathfrak{g}^\tau) \to \pi_{n+1}(\gamma_\bullet(\mathfrak{g}), \tau)$ 计算高阶同伦群 $\pi_{n+1}(\gamma_\bullet(\mathfrak{g}), \tau)$，其中 $\mathfrak{g}^\tau$ 是 $\mathfrak{g}$ 沿 Mauer-Cartan 元素 $\tau$ 的扭变。
• $\mathrm{H}_0(\mathfrak{g}^\tau)$ 上的群结构通过 Campbell-Hausdorff 公式定义。
• 将 $\infty$-群胚构造扩展至完备 $L_\infty$-代数，其定义为幂零 $L_\infty$-代数塔的逆极限。
• 主要应用利用同构 $\operatorname{Map}(X,Y_\mathbb{Q}) \simeq \gamma_\bullet(A \hat{\otimes} L)$，其中 $A$ 是 $X$ 的 cdga 模型，$L$ 是 $Y$ 的 $L_\infty$-模型，且 $A \hat{\otimes} L$ 为 $A \otimes L / L_{\geq r}$ 的逆极限。
• 当 $A \hat{\otimes} L$ 为有限型时，通过 Chevalley-Eilenberg 构造 $C^*((A \hat{\otimes} L)_{\geq 0}^\tau)$ 构造映射空间连通分支的 Sullivan 模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何显式计算与幂零 $L_\infty$-代数相关的 Deligne-Getzler $\infty$-群胚的高阶同伦群？
• RQ2 何种条件下 $L_\infty$-同态能诱导 $\infty$-群胚的等价？
• RQ3 如何利用 $L_\infty$-代数对映射空间 $\operatorname{Map}(X,Y_\mathbb{Q})$ 的有理同伦类型进行建模？
• RQ4 Deligne-Getzler $\infty$-群胚构造能否推广至完备 $L_\infty$-代数？主要结果是否在该设定下依然成立？
• RQ5 在有理同伦论中，映射空间连通分支的显式 $L_\infty$-代数模型是什么？

主要发现

• 对 $n \geq 0$，存在自然的群同构 $B: \mathrm{H}_n(\mathfrak{g}^\tau) \to \pi_{n+1}(\gamma_\bullet(\mathfrak{g}), \tau)$，其中 $\mathrm{H}_0(\mathfrak{g}^\tau)$ 上的群结构由 Campbell-Hausdorff 公式给出。
• $L_\infty$-同态 $f: \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}$ 诱导 $\infty$-群胚等价当且仅当其在 Mauer-Cartan 模空间上诱导双射，并在扭变后在非负度上诱导同调同构。
• 对有限型的幂零 $L_\infty$-代数 $\mathfrak{g}$，包含 Mauer-Cartan 元素 $\tau$ 的 $\gamma_\bullet(\mathfrak{g})$ 的连通分支同伦等价于 $\gamma_\bullet(\mathfrak{g}_{\geq 0}^\tau)$，且 $C^*(\mathfrak{g}_{\geq 0}^\tau)$ 是该连通分支的 Sullivan 模型。
• 映射空间 $\operatorname{Map}(X,Y_\mathbb{Q})$ 同伦等价于 $\gamma_\bullet(A \hat{\otimes} L)$，其中 $A$ 是 $X$ 的 cdga 模型，$L$ 是 $Y$ 的 $L_\infty$-模型，且 $A \hat{\otimes} L$ 为 $A \otimes L / L_{\geq r}$ 的逆极限。
• 对对应于 Mauer-Cartan 元素 $\tau$ 的映射 $f: X \to Y_\mathbb{Q}$，有同构 $\pi_{n+1}(\operatorname{Map}(X,Y_\mathbb{Q}), f) \cong \mathrm{H}_n((A \hat{\otimes} L)^\tau)$ 对 $n \geq 0$ 成立，其中 $n \geq 1$ 时为有理向量空间同构，$n = 0$ 时为群同构，后者由 Campbell-Hausdorff 公式给出。
• 若 $A \hat{\otimes} L$ 为有限型，则 $C^*((A \hat{\otimes} L)_{\geq 0}^\tau)$ 是 $\operatorname{Map}(X,Y_\mathbb{Q})$ 中包含 $f$ 的连通分支的 Sullivan 模型。