[论文解读] Rational Normal Scrolls and the Defining Equations of Rees Algebras

Andrew R. Kustin, Claudia Polini+1 more|ArXiv.org|Dec 29, 2008

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文为多项式环 $ k[x,y] $ 中高度为二的理想的 Rees 代数的定义理想提供了一个显式生成集，其中该理想由 $ m $ 个次数为 $ d $ 的齐次形式生成，且其表示矩阵中有一列的元素次数为 $ n $，其余列均为线性。通过有理正则柱面的齐次坐标环，作者利用单项式理想与广义 Eagon-Northcott 复形，对 Rees 代数及其幂进行解析，无需假设 Cohen-Macaulay 性质，从而得到定义方程与 Betti 数的闭式公式。

ABSTRACT

Consider a height two ideal, $I$, which is minimally generated by $m$ homogeneous forms of degree $d$ in the polynomial ring $R=k[x,y]$. Suppose that one column in the homogeneous presenting matrix $\f$ of $I$ has entries of degree $n$ and all of the other entries of $\f$ are linear. We identify an explicit generating set for the ideal $\Cal A$ which defines the Rees algebra $\Cal R=R[It]$; so $\Cal R=S/\Cal A$ for the polynomial ring $S=R[T_1,...,T_m]$. We resolve $\Cal R$ as an $S$-module and $I^s$ as an $R$-module, for all powers $s$. The proof uses the homogeneous coordinate ring, $A=S/H$, of a rational normal scroll, with $H\subseteq \Cal A$. The ideal $\Cal AA$ is isomorphic to the $n^{ ext{th}}$ symbolic power of a height one prime ideal $K$ of $A$. The ideal $K^{(n)}$ is generated by monomials. Whenever possible, we study $A/K^{(n)}$ in place of $A/\Cal AA$ because the generators of $K^{(n)}$ are much less complicated then the generators of $\Cal AA$. We obtain a filtration of $K^{(n)}$ in which the factors are polynomial rings, hypersurface rings, or modules resolved by generalized Eagon-Northcott complexes. The generators of $I$ parameterize an algebraic curve $\Cal C$ in projective $m-1$ space. The defining equations of the special fiber ring $\Cal R/(x,y)\Cal R$ yield a solution of the implicitization problem for $\Cal C$.

研究动机与目标

• 确定 $ k[x,y] $ 中高度为二的理想在表示矩阵中有一列非线性时，其 Rees 代数的定义方程。
• 在不假设 Cohen-Macaulay 性质的前提下，将 Rees 代数及其幂作为多项式环上的模进行解析。
• 用有理正则柱面的齐次坐标环（一个正规整环）替代对称代数，以简化对 Rees 代数定义理想的研宄。
• 为 Rees 代数及其幂的定义方程与 Betti 数提供闭式公式。
• 通过特殊纤维环解决由理想生成元参数化的曲线的隐式化问题。

提出的方法

• 使用有理正则柱面的齐次坐标环 $ A = S/H $ 作为对称代数的替代，其为一个正规整环。
• 将映射 $ A \to \mathcal{R}(I) $ 的核 $ \mathcal{A}A $ 识别为 $ A $ 中一个高度为一的素理想 $ K $ 的 $ n^{\text{th}} $ 次形式幂 $ K^{(n)} $，且 $ K^{(n)} $ 为单项式生成。
• 构造 $ K^{(n)} $ 的一个滤子，其各项为多项式环、超曲面环，或由广义 Eagon-Northcott 复形解析的模。
• 利用 $ K^{(n)} $ 的单项式结构，通过同构 $ \mathcal{A}A \cong K^{(n)} $ 计算 $ \mathcal{R}(I) $ 的定义方程，避免使用复杂的行列式方法。
• 利用 Hilbert 函数及自由模的 Hilbert 函数比较，通过引理 \tnum{L19.14} 重构最小自由解析。
• 应用有理正则柱面上除子理论，描述 $ \mathcal{A}A $ 的除子类并导出显式解析。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ I $ 在 $ k[x,y] $ 中几乎线性表示时，Rees 代数 $ \mathcal{R}(I) $ 的定义理想 $ \mathcal{A} $ 的显式生成集是什么？
• RQ2 如何在不假设 Cohen-Macaulay 性质的前提下，将 Rees 代数 $ \mathcal{R}(I) $ 及其幂 $ I^s $ 作为多项式环上的模进行解析？
• RQ3 是否可以将对称代数替换为一个能简化 Rees 代数定义理想研究的正规整环？
• RQ4 特殊纤维环 $ \mathcal{R}(I)/(x,y)\mathcal{R}(I) $ 的结构是什么？它如何解决由 $ I $ 参数化的曲线的隐式化问题？
• RQ5 $ I^s $ 的 Betti 数与正则性是什么？它们如何依赖于表示矩阵的列次数？

主要发现

• Rees 代数 $ \mathcal{R}(I) $ 的定义理想 $ \mathcal{A} $ 由 $ K^{(n)} $ 的单项式生成元的拉回生成，其中 $ K^{(n)} $ 是有理正则柱面齐次坐标环中一个高度为一的素理想的 $ n^{\text{th}} $ 次形式幂。
• Rees 代数 $ \mathcal{R}(I) $ 作为 $ S $-模，通过 $ K^{(n)} $ 的一个滤子进行解析，其各项由广义 Eagon-Northcott 复形解析。
• 最小齐次解析 $ I^s $ 完全由表示矩阵中非线性列的数量 $ a = \lceil (n-1)/\sigma_1 \rceil $ 决定，Betti 数以 $ a $、$ s $、$ d $ 和 $ n $ 显式表示。
• 当 $ \rho = 1 $ 时，$ I^s $ 的正则性为 $ sd + n - 1 $；当 $ \rho = 2 $ 时，正则性为 $ sd $ 当且仅当 $ s \geq \lceil (n-1)/\sigma_2 \rceil + 1 $，且等式成立当且仅当 $ I^s = (x,y)^{sd} $。
• 特殊纤维环 $ \mathcal{F}(I) $ 的预设数为 $ \lceil (n-1)/\sigma_2 \rceil $（当 $ \rho = 2 $ 时），或 $ \lceil (n-1)/\sigma_1 \rceil - 1 $（当 $ \rho = 1 $ 时），由 Hilbert 多项式与函数比较导出。
• 理想 $ \mathcal{A} $ 由 $ I^s $ 的表示矩阵的极大子式的生成，定义方程的次数为 $ sd + \binom{a}{2}(\sigma_1 - \sigma_2) + (s-1)\sigma_2 a - na $。